第36話 線形オメガ航空334便(中編)
下には珍しい色の建物や矢印が並んでいる。といっても、それらばかりでもう珍しくもなくなってきたが。
そんな矢先、目に飛び込んできたのは巨大な牛の牧場だ。
『あればビゴル(biggol)に作られた牧場です。といっても、今となっては廃棄されたようなものですが』
彼女が説明する。確かに草が生い茂って、あまり手入れはされていないように見える。
「なぜ廃棄されたのですか?」
『昔はこのあたりで牛肉産業が盛んだったのですが、効率性を求めて今は野菜の屋内栽培が主流になってしまいました』
「それで、放し飼いになっているのですね」
『そういうことです』
「ところで、今僕たちはどれくらいの大きさにいるのですか」
『それが、ビゴルです。ビゴルは、BEAFで{10,10,100,2}と表される数です』
「ビーフ?」
ビーフとは何だろう。あの放し飼いの牛とはなにか関係があるのだろうか。
『BEAFは、矢印表記の拡張としてジョナサン・バワーズにより考案された表記です。波括弧の中に、2個以上の自然数を並べて表記されます』
彼女がノートに書く。いつものことなのに、なんだか久しぶりな気がする。
(著者注: 前話が執筆されたのは6か月前である)
{b, p, a_1, ..., a_n}
『慣習的に、左の2つはそれぞれ
「3つ目以降に名称はあるのですか?」
『
「それは、どう使うのですか?」
『計算方法と一緒に説明しますね』
プライムルール: {b,1,...} = b
『2つ目の数が1のときは、1つ目の数がそのまま出てきます。2変数の{b,1}もbになります』
『これ以外のときは、まずパイロットと
「具体例をお願いします」
『点を打った数がパイロットで、その左にある数が
{10,10,4}
{10,10,5,6}
{10,10,1,2,2}
{3,1,4,1,5,9,2}
{10,5}
{10,7,1,1,1}
『最後の2つの例では、パイロットが存在しないことに気を付けてください』
「わかりました」
『では計算方法を続けますね』
{b,p,...} = b^p
『パイロットが存在しないとき、つまりpの右が全部1かあるいは2変数でpの右に何もないときは、b^pになります』
「これで、p=1とするとプライムルールですね」
『いいえ。プライムルールは3つ目以降の変数は何でもいいですが、
「プライムルールは2変数目が1かどうかだけで判断しているのですね」
『そうです。では、最も複雑な3つ目のルールにいきましょう』
1. パイロットの値を1減らす
2.
3.
4. 配列のそれ以外の要素は変化しない
(著者注: 出典は巨大数研究Wikiである。あと某デーモンスレイヤーとは関係ない)
『ルールが分かりにくいので、具体例を見てみましょう』
{10,1} = 10
{3,1,4,1,5,9,2} = 3
{1,1,4,5,1,4} = 1
『これら3つはプライムルールからわかります』
「はい」
{10,3} = 10^3
{33,4,1,1,1,1} = 33^4
『これらは
「意外と単純なのですね」
『この2つのルールは単純ですが、
{3,3,4} = {3,{3,2,4},3}
{10,10,1,2} = {10,10,{10,9,1,2},2}
{3,5,7,1,1,8,3} = {3,3,3,3,{3,4,7,1,1,8,3},7,3}
『最後の例のように、
「2つ目の場合は置き換わらないのですか」
『最初の10,10が10,10に置き換わっていますが、同じものなので置き換わっていないように見えるだけです』
「わかりました」
これはどれほどの大きさになるのだろう。複雑な構造は使っていないようだが、チェーン表記より大きいのだろうか。
僕の考えを読むかのように、彼女が続けた。
『3変数のBEAFは、矢印表記と同じになります』
{a,b,c} = a↑^c b
『4変数以降のBEAFは、急増加関数で次のように近似されます』
{a,b,1,2} ≒ f_(ω+1)(b)
{a,b,2,2} ≒ f_(ω+2)(b)
{a,b,c,2} ≒ f_(ω+c)(b) ≒ f_(ω2)(c)
{a,b,1,3} ≒ f_(ω2+1)(b)
{a,b,c,3} ≒ f_(ω2+c)(b) ≒ f_(ω3)(c)
{a,b,c,4} ≒ f_(ω3+c)(b)
{a,b,c,d} ≒ f_(ω(d-1)+c)(b) ≒ f_(ω^2)(d-1)
{a,b,1,1,2} ≒ f_(ω^2+1)(b)
{a,b,c,1,2} ≒ f_(ω^2+c)(b)
{a,b,c,d,2} ≒ f_(ω^2+ω(d-1)+c)(b)
{a,b,c,d,e} ≒ f_(ω^2(e-1)+ω(d-1)+c)(b) ≒ f_(ω^3)(e-1)
{a,b,1,1,1,2} ≒ f_(ω^3+1)(b)
{a,b,c,d,e,f} ≒ f_(ω^3(f-1)+ω^2(e-1)+ω(d-1)+c)(b) ≒ f_(ω^4)(f-1)
{a,b,1,1,1,1,2} ≒ f_(ω^4+1)(b)
{a,b,1,1,1,1,1,2} ≒ f_(ω^5+1)(b)
『このようにして、多変数のBEAFはω^ωに対応します。左が全部1になって、右の数が1つ増えると、順序数に+1が付くのが特徴です』
「それはなぜですか?」
『例えば、{a,b,1,1,2}で考えましょう』
{a,b,1,1,2}
= {a,a,a,{a,b-1,1,1,2},1}
= {a,a,a,{a,a,a,{a,b-2,1,1,2},1},1}
= ...
= {a,a,a,{a,a,a,{...{a,a,a,{a,1,1,1,2},1}...},1},1}
= {a,a,a,{a,a,a,{...{a,a,a,a}...}}}
『最後の2行は、b段のネストです。最後の行では、右端の1があってもなくても同じであることを使っています』
「{a,a,a,a}がb段ネストされるのですね」
『はい。{a,a,a,a}自体がω^2に対応するので、それをネストさせるとω^2+1になります』
「それで、今いるところはどこでしたっけ」
『さっき見た牧場は、{10,10,100,2}です。急増加関数では、f_(ω+100)(10)と近似できます』
「一気にω+100まで増えたのですね」
『はい。ですが、この先はもっと大きくなりますよ』
今の僕には、何が起こるかなんとなくわかるような気がする。
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