第27話 グラハム線(中前編)
〔間もなく右手に見えますのは、デカエクサクシス駅です〕
彼女は何も言わずにノートに書く。
Deka-exaxis = 10↑↑↑↑↑10
矢印が5本もあってわけがわからない。いや、どう計算すればいいのかはわかるのだが、とてもなく大きな数になっているだろう。
ところで、僕にはまだ解消できていない疑問がある。
それは、「
オメガとは何なのか。そのオメガに1を足すとは一体どういうことなのか。オメガとは足し算ができる何かなのか。あの動く歩道は一体何なのか。なぜあんなに急加速する必要があるのか。そこまでして僕達はオメガに辿り着く必要があったのか。
これは彼女に聞くしかない。
「
『ついに、あの話をするときが来ました』
彼女が神妙な面持ちで答えた。
「あの話とは、一体何ですか?」
『急増加関数、そして、
そう言いながら、彼女は両手でωの形を作る。そういえばそんなジェスチャーをする人が表紙に描いてある漫画があったような。
『ではまず、急増加関数から始めましょう。一旦、添字は自然数に限定しますね』
f_0(n) = n+1
f_(a+1)(n) = f^n_a(n)
『f^n_aとは、f_aをn回繰り返すという意味です。少し例を出しますね』
f_0(3) = 3+1 = 4
f_1(3)
= f^3_0(3)
= f_0(f_0(f_0(3)))
= f_0(f_0(4))
= f_0(5)
= 6
f_1(n)
= f^n_0(n)
= f_0(f_0(...(n回)...f_0(n)...))
= n+1+...+(n回)+...+1+1
= n+n
= 2n
f_2(3)
= f_1(f_1(f_1(3)))
= f_1(f_1(6))
= f_1(12)
= 24
f_2(n)
= f_1(f_1(...(n回)...f_1(n)...))
= n*2*...*(n回)*...*2*2
= n*2^n
> 2^n
f_3(3)
= f_2(f_2(f_2(3)))
= f_2(f_2(24))
= f_2(402653184)
= 402653184*2^402653184
> 2^2^2
f_3(4)
= f_2(f_2(f_2(f_2(3))))
= f_2(f_2(f_2(64)))
= f_2(f_2(64*2^64))
≒ f_2(f_2(2^64))
≒ f_2(2^2^64)
≒ 2^2^2^64
> 2^2^2^2
f_3(n) > 2↑↑n
f_4(3)
= f_3(f_3(f_3(3)))
> f_3(f_3(2↑↑3))
> f_3(2↑↑2↑↑3)
> 2↑↑2↑↑2↑↑3
> 2↑↑2↑↑2
= 2↑↑↑3
f_4(n) > 2↑↑↑n
『このように、前の段階の関数を重ねることで次の段階の関数が作られます』
「この表記は、どれくらいの大きさになるのですか」
『添字が自然数の場合は、矢印表記と同じ大きさになります』
f_a(n) > 2↑^(a-1) n
「わかりました。では、添字が自然数でない場合はどうなるのですか」
『添字が自然数でない時、添字は超限順序数になります。ということで、急増加関数の話を続ける前に、順序数の話をしましょう』
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