第28話 グラハム線(中中編)
『順序数とは、自然数を拡張した概念で、全ての自然数より大きい数が定義されます』
「無限ということですか」
『はい。ただし、順序数の無限には大小関係があります』
そういえば、自然数と実数の個数は違うとか聞いたことがある。そんな話だろうか。そんなことを考えている間に、ノートの最後の行に数式が書き足されていた。
0<1<2<...<ω<ω+1<ω+2<...<ω2<ω2+1<...<ω3<...ω4<......<ω^2
『0,1,2,...という自然数の列の先に、
いきなりいろいろ言われて混乱している。少し整理しよう。
「少し整理させてください」
『はい』
「ωはどの自然数よりも大きいのですよね」
『はい』
「ω+1はそれよりも大きいですね」
『はい』
「ω+1よりも上にω+2,ω+3,...と続いて、その先にあるのがω2なのですね」
『その通りです』
「ここで一つ質問していいですか」
『どうぞ』
「ω2は2ωとは書かないのですか? 普通の数式だと、xの2倍は2xですよね」
『2ωだと、2×1,2×2,2×3,...の先にある極限、つまりωになってしまいます』
「つまり、ω2と2ωは違うものなのですね」
『そうです!』
「そして、ω2+1,ω2+2,...と続く先がω3だと」
『はい』
「最後に、ω,ω2,ω3,...と続く先がω^2ですか」
『完璧です! では、これを急増加関数の添字に入れてみましょう』
「急増加関数は有限の関数ですよね。無限を入れると無限になってしまうのではないですか」
『今からそこを説明します』
彼女はノートに急増加関数の定義を改めて書き直す。
n: 自然数
a: 順序数
f_0(n) = n+1
f_(a+1)(n) = f^n_a(n)
f_a(n) = f_a[n](n) もしaが極限順序数のとき
『極限順序数とは、ω、ω2のように、1つ小さい順序数が存在しない順序数です』
「ω^2は、極限順序数ですか」
『はい。ω^2の1つ前が存在しないので、ω^2は極限順序数です』
「[n]とは、何のことですか」
『極限順序数αに対し、α[n]はαの基本列のn番目、すなわち極限がαであるような列のn番目という意味です。いくつか例を出しますね』
1, 2, 3, 4, ...はωの基本列
このときω[3]=3
ω+1, ω+2, ω+3, ω+4...はω2の基本列
このときω2[3]=ω+3
ω, ω2, ω3, ω4, ...はω^2の基本列
このときω^2[3]=ω3
2, 4, 6, 8, ...はωの基本列
このときω[3]=6
『最初と最後の例からわかるように、ある順序数に対する基本列は一通りではありません』
「では、α[n]は何でもよいのですか」
『α未満なら何でもありえますが、それだと使いにくいので、Wainer階層を使って基本列を定めることが多いです』
彼女は基本列の例の下に式を書き足す。
ωa[n] = ω(a-1)+n
ω^2[n] = ωn
『ω^2以下の場合はこの2つで基本列が定義できます。上で挙げた最初の3つの例は、このWainer階層と同じになっています』
(著者注: 「上で挙げた」にはメタ的な意味(この小説のテキスト内で上に書かれている)と、非メタ的な意味(「僕」たちが見ているノートで上に書かれている)の両方が含まれている)
『例えば、ω=ω1なので、ωの基本列を得るためには1つ目の規則にa=1を代入すればいいことがわかります。ω0=0なので、ω[n]=nとなります』
「ωに0を掛けると0になるのですね」
『はい。どんな順序数にも、0を掛けると0になります。では、実際に演習してみましょう。今から書く極限順序数の基本列を右側に書いてみてください』
彼女はノートに3つの極限順序数を書く。僕に振るのか。
ω2
ω4
ω^2
(著者注: 読者も一緒に考えてみましょう)
(メタ著者注: 読者にも振るのか)
ω2には1つ目の規則が使える。a=2だから、ω2の基本列はω1+nだ。ω1はωと同じものだから、ω+nと表せる。ω4も同じだ。a=4だから、ω4[n]=ω3+nになる。ω^2には2つ目の規則をそのまま使って、ω^2[n]=ωnになる。つまりこういうことだ。
僕はノートの右側に回答を書き足す。
ω2 ω+n
ω4 ω3+n
ω^2 ωn
『正解です! では、急増加関数の添字に順序数を入れたらどうなるか、具体例で見てみましょう』
新規登録で充実の読書を
- マイページ
- 読書の状況から作品を自動で分類して簡単に管理できる
- 小説の未読話数がひと目でわかり前回の続きから読める
- フォローしたユーザーの活動を追える
- 通知
- 小説の更新や作者の新作の情報を受け取れる
- 閲覧履歴
- 以前読んだ小説が一覧で見つけやすい
アカウントをお持ちの方はログイン
ビューワー設定
文字サイズ
背景色
フォント
組み方向
機能をオンにすると、画面の下部をタップする度に自動的にスクロールして読み進められます。
応援すると応援コメントも書けます