数学的な彼女の日常

【Ｙ＝６】こんな証明はいかがでしょう

「数学にとって、いえ、数学でなくとも学術全般にとって矛盾は致命的です。なので不完全でも構わないので、無矛盾性の証明をする必要があります」

　Mさんはそう言って、用紙の余白に書き足した。

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G＝「Gは証明できない」

　①真の場合：真なのに証明できない　　　　　▶︎　不完全　○

　②偽の場合：証明でき、かつ、証明できない　▶︎　矛盾　　×

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「矛盾を避けるためには、先ほどの命題が“真（しん）”でなければなりません。なので、①であることの証明をしたとします」

　したとします、という言い方で、なんとなく先が読めた気がする。

「あ、俺に言わせてもらってもいいですか。館長Ｇは俺なんで」

　なんだか、不完全な館長Ｇに共感してしまっている俺がいる。

「“真（しん）”だと証明できるってことは、『俺の言うことは証明できない』が証明できたってことになりますよね。でも『俺の言うこと』っていうのは、『俺の言うことは証明できない』のはず。なのに、それが証明できたっていうのは、まさに矛盾です！」

「……その通りです」

　Mさんが悔しそうに笑って、言う。

「つまり、無矛盾であることを証明しようとすると、矛盾を導いてしまう、ということです。これが、“第二不完全性定理”です」

「あ、そうか。なる……ほど」

　自分に矛盾が無いことを証明しようとすると、逆に矛盾してしまう。

　だから、矛盾があるかないか、わからないままにするしかない。

　数学のような厳密な学問ですら、そんなことが起こる。

　なら、人間のすることなんか、もっと曖昧にならざるを得ないんだろうか。

「このように、自己言及という作業がパラドクスを招くことになるのです」

　自己言及。自分自身について言及すること。

「あ」

　その言葉で、突然一本の線が繋がる。

「あーー！　わかりました！」

「不完全性定理が、ですか？」

「いや、そうじゃなくて、あ、不完全性定理はなんとなくわかったんですけど、そっちじゃなくて、先週の件です」

「……目撃情報の件、ですか」

「Mさん、仕事中はいつも眼鏡してますよね」

「ええ。コンタクトはプライベートのときだけです」

「Mさん、会社では全然笑わないですよね」

「ええ。人事という立場上、毅然（きぜん）とする必要がありますから」

　まだ気付かない。

　自己言及っていうのは、本当にパラドクスを導きやすいらしい。

「先週の木曜日、なにしてたか覚えてますか？」

「……その日は会社の人事制度の研修を担当して、普通に帰宅したと思いますが」

「あー。そこから覚えてないんですね。結構飲んでましたもんね……」

　あの日の夜は、研修の復習をさせてもらいながら、一緒に飲んだじゃないか。

　でも、飲みすぎて完全に記憶が飛んでいるっぽいな。

「あの、Mさん。目撃証言をよく思い出してください。『俺が、とても綺麗な人と手を繋いで歩いていた』でしたっけ」

「……それがなにか？」

「Mさんって笑うと、その、とても可愛い、ですよ。眼鏡をとると、印象も全然違いますし」

　さすがに面と向かって言うのは恥ずかしいものがある。

「……え」

「その相手、Mさんです。木曜の夜、手を繋いで帰りましたよね」

「え、ええ……え？」

「Mさん、会社だと全然笑わないし、あの日お酒飲んで眼鏡外してたから、別人って思われたんですね、きっと」

　もしくは、目撃者がMさんにカマをかけたか。

　Mさんに似ているけど、別人かもしれない。だから、とりあえず探りを入れてみようと。

「あ、ああ……あ」

「自分じゃ、自分のこと、見えないもんですよね」

　まさに自己言及が招いたパラドクスだ。

「ごめんなさいっ！」

　Mさんが机に頭をぶつけそうな勢いで謝る。

　とにかく、誤解が解けて本当に良かった。

「とりあえず矛盾は回避できたみたいで、よかったです」

　なんとなしに自分で言った言葉で、いろんなことが腑に落ちる。

　矛盾を回避するためには、不完全を選ばざるを得ない。それは人間も一緒なんだ。

「あー、ほら、人の気持ちの証明はできないですもんね。不完全なのは仕方ないんですよ、きっと」

　数学ですら、“真（しん）”であることを証明できないことがある。

　いわんや、人間をや。

　なんだか寂しい気もするが、それはもう数学で証明されてしまったことなんだ。

「……それは、少し、違います」

　Mさんが赤く染まった顔を上げる。

「“真（しん）”なのに証明できないものがある。その通りです。ですが」

　Mさんは俺を見つめ、言葉を続ける。

「全てのものが証明不可能というわけではありません」

　Mさんの目が俺を捉えて離さない。

「今回の件のお詫びに、証明をさせてください」

　なにかの覚悟を決めたような真剣な目だ。

「な、なにを……？」

「私の、気持ちを」

「え、だって、そんな、できないでしょ、証明なんて」

　予期しない言葉に、つい焦ってしまう。

「では……こんな証明は、いかがでしょうか―—」

　Mさんは机ごしに、俺の腕を手繰（たぐ）り寄せる。

　好きです。

　俺の耳元でそう囁いたあと。

　Mさんは俺の目の前で、瞼（まぶた）を閉じた。

　これは、Ｍさんが“真（しん）”だった。

　そんなことを想いながら。

　俺はMさんの証明を受け入れた。

　Q.E.D