数学的な彼女の日常

【Ｙ＝５】君の言うことは証明できない

　自己言及がカギになる。

　Mさんはそんな言葉を残し、用紙の余白にさらに書き足した。

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文Ｘ：「ｘはｘである」　

文G：『「文Ｘ」は証明できない』

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「“メタ数学”で使われる文脈のなかには、このような文Ｇも存在します。自己言及をさせて、さらにその証明は不可能だと発言するものです」

「あれ？　『ｘはｘ』であるって、『自分は自分である』ってことですよね」

　こんな雰囲気のことを前にどこかで聞いたことがある。

　つい最近聞いた気がするんだが……。

「もう少し正確に言うと、『ｘはｘ自身を集合に持つ』ですね」

　Mさんの言葉に引きずられ、思い出す。

「あ。それ、“まるごとセット”だ！」

　これ、図書館で無限の話を聞いたときに考えたやつと似ている。

「えっと……つまり文Ｘっていうのは……『図書館ｘは“図書館ｘまるごとセット”を持っている』って感じですか。その図書館の責任者の発言みたいなイメージで」

　Mさんは少し考えたあと、感心したように言う。

「面白いですね。そうなると……集合ｘ、もとい図書館ｘの収集方針は、ｘの条件に当てはまるかどうか、になりますね」

　一度整理するために、もう一度さっきの例を思い返す。

　具体例で考えないと、混乱してしまいそうだ。

　ああ、そうだ。こういうのを帰納的っていうんだっけか。

　ええと、さっきはｘのところに『○○は奇数ではない』ってのが入ってたんだよな。

　だから、ｘは“奇数ではない”ものを集める方針の図書館みたいなものだ。

　で、“その奇数ではない図書館”の“まるごとセット”を考えてみる。

　当然だけど、それは奇数ではない。だから、その図書館の中に納められる。

　で、真偽はどうあれ、その図書館長Ｘにこう言わせる。『ウチは、自分のとこの“まるごとセット”を持ってるよ』と。今回の図書館ｘの場合、その発言は論理的には正しいから“真”だ。

　そして、最後にＧという人が現れて、図書館長Ｘに向かってこう言うんだ。『君の発言は証明できないよ』。今回の場合は、さっき証明できたから（たぶん）、Ｇの発言は“偽”になるのかな。

　ここまでは、なんとか付いていけている。

　そのことを示すため、Mさんに向けてゆっくりとうなずく。

「では、いいですか」

　Mさんもゆっくりとうなずいて、噛み締めるように言う。

「ここでＸの中に文Ｇを代入してみます。すると、この真偽はどうなるか、わかりますか？」

「ちょ、ちょっと待ってください」

「はい。じっくり考えてみてください」

　きっと、ここが正念場だ。

　脳をフル回転させる。

　俺はオセロの盤上を一度全部片付け、石を一つ手に持ちながら、ゆっくりと思考を進ませる。

「えーと、この石は図書館ａの館長Ａです。で、『図書館ａは“図書館ａまるごとセット”を持ってるよ』って言わせる。ええと、この発言は、とりあえず真（しん）だとしましょう」

　“白”の面を上にして、用紙の空いたスペースに石を置く。

「で、俺がこの図書館長に対して『君の言うことは証明できないよ』って言う」

　Mさんは何も言わず、俺にペンを手渡してくれた。

　俺も黙って受け取り、用紙の余白に今考えていることを書き出す。

　どこに行き着くのかわからない思考を、そのまま文字にしていく。

　なんだろう、不思議な感覚だ。

「で、同じように、いろんな館長に『ウチは自分の“まるごとセット”を持ってるよ』って言わせて、俺は全員に『君の言うことは証明できないよ』って言って回る。館長Ｂが言っていることは、とりあえず“偽（ぎ）”にしておきます」

　俺は“黒”の面を上にして、もう一つ石を置く。

　なんだか奇妙なことを言っている気がするけれど、間違ってはいない気がする。

「俺自身が『文Ｇ』なわけです。あらゆる図書館の館長に『自分のところの“まるごとセット”を持っているよ』って言わせながら、全員に対して『君の言うことは証明できない』と言って回る嫌なヤツです。あ、だから、俺自身の図書館には『君の言うことは証明できない』が“真（しん）”だった場合の“図書館まるごとセット”が納められてるんでしょうね。戦利品みたいな感じで」

　Mさんが少しだけ笑ったような気がした。

「そうやって、いろんな館長に言って回っていたら、ついに自分の番が来た感じ。『俺の言うことは証明できないよ』って」

　そこまで言ったところで、余白に書いたものを一度見直してみる。

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○館長Ａ「図書館ａは“図書館ａまるごとセット”を持っている」

　館長Ｇ👉『館長Ａの発言は証明できない』　

●館長Ｂ「図書館ｂは“図書館ｂまるごとセット”を持っている」

　館長Ｇ👉『館長Ｂの発言は証明できない』　

　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　・

　館長G「図書館ｇは“図書館ｇまるごとセット”を持っている」

　館長Ｇ👉『館長Gの発言は証明できない』　　　

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「これが、Ｘに文Gを代入するってことで……合ってますか？」

　Mさんは黙ったまま、用紙を見ながら大きくうなずいた。

「えっと……で、『俺の言うことは証明できないよ』が、真（しん）か偽（ぎ）か」

　慎重に考える。

「もし、真（しん）だとすれば、『俺の言うことは証明できない』が正しいから……“図書館ｇまるごとセット”は戦利品的に図書館ｇに納められている。だから館長である俺が言う『自分のところの“まるごとセット”を持っている』って発言は正しい。……でも、証明はできない」

　自分が正しいことはわかっているのに、証明はできない。

　まるで、俺自身みたいだ。

　いや、仮定では館長Ｇはたしかに俺なんだけども。

「ああ、そっか。これ不完全だ！」

　ここでヒルベルトが目指した完全性の話と繋がった。

「で、次に、もし偽（ぎ）の場合だと、『俺の言うことは証明できない』って指摘は間違ってるわけで……戦利品はもらえないから、“図書館ｇまるごとセット”は図書館ｇに納められていない」

　なんとなく、この先がどうなるのか、見えた気がした。

「でも、『俺の言うことは証明できる』ってことだから、『自分のところの“まるごとセット”を持っている』って発言を証明できるってことなんだけど……図書館ｇは持ってない。だから証明できない。矛盾です！」

「ご名答です」

　Mさんが感心して言う。

「数式を使わず、言葉で不完全性定理を理解したのは私も初めてです」

　Mさんは俺にそんな難しいことをさせたのか。

「先ほどの命題が、“真（しん）”であれば不完全に。“偽（ぎ）”あれば矛盾に。つまり、その二者択一を迫られるわけです」

　なんだか嫌な二択だ。

「それが、不完全性定理ですか？」

「いえ、さらに追い討ちをかけられて、もっと大変なことになります」

　そう言ってMさんは俺からペンを奪い、楽しそうに笑った。

　これは気のせいじゃなく、間違いなく、笑った。