ようこそ、ヒルベルトホテルへ！

素数砂漠 その５

「鏡？」

「そうよ。淑女（レディ）たるもの、常に持ち歩くものよ」

そうかな。まあいいや。

「それをどうするの？」

「こうするのよ！」

かーちゃん先輩は、あたしに鏡を向けた。

「鏡合わせの掛け合わせ、出でよ階乗！」

ギラッ！

鏡が光った。あたしは眩しくて目をつぶった。

ゆっくり目を開けると、あたしの横に、ずらっとｎ人のあたしが並んでいた。

「えっ、なにこれ！」

並んでいる「あたし達」は、みんなあたしと同じポーズを取っている。

でも、遠くに行くほど、「あたし」は小さくなっていた。

「ね、ねえ、あたしどうなったの！？」

「焦ることはないわ。ただあなたを少しずつ小さくして並べただけよ」

それは見てわかるけど。

「今のあなたは、階乗よ！　ｎから１ずつ減らして、１までかけ算するの！」

「えっと……？」

「細かいことはいいわ。次は、あなたに１０１を代入するわ」

うぇ、代入か。ちょっと嫌だ。

いや、それがあたしの役割なのは、わかってるけど。

たーちゃん先輩が大きなシャボン玉を作った。１０１だ。

あたしの前にふわふわと飛んでくる。

あたしはそれをそっとつまんで、飲み込んだ。

うぐ、大きくて飲みにくい。でも仕方ない。これがあたしの役割だ。

飲み込むと、横に並んでいた「あたし」の数が減った。

どうやら、１００人になったらしい。あたしを含めて、全部で１０１人だ。

「あなたは今、ただの自然数じゃないわ。１０１から１まで、１ずつ減らしてかけた数になっているわ！」

つまり、こういうことだ。

１０１×１００×９９×９８×……×３×２×１

あたしが１０１で、隣にいる「あたし」が１００で、その隣にいる「あたし」が９９で……となっているに違いない。

「こ、これでどうするの？」

ちょっと喉を抑えながら質問した。

「そしたら次は、たーちゃん！　２を足すのよ！」

「……ああ、なるほどなのです」

たーちゃん先輩は何かわかったらしい。

ぷぅ、とシャボン玉を作って、あたしの上にふわりと浮かべる。

そしてもうひとつ、おっきなシャボン玉を作って、あたし達１０１人を全員、中に閉じ込めた。

「これでどうなるの？」

あたしにはまだ、何がなんだかさっぱりわからない。

でも、幼女先輩たちは、みんなわかっているようだ。

ｘさんも「なるほど」と頷いている。

あたしだけ蚊帳の外だ。いやシャボン玉の中だ。

「ねー、どういうことなの～！？」

かーちゃん先輩が、あたしにビシッと指を突き付けた。

「あなたは今、１０１から１までをかけた数になっているわ！

　つまり、あなたは今、１０１×１００×……×４×３×２×１よ！

　だからあなたは今、２の倍数ってこと！」

うん、確かに、２の倍数だ。でもそれが？

たーちゃん先輩が、あたしにラッパを突き付けた。

「２の倍数に２を足しても、やっぱり２の倍数のままなのです。つまりｎさん達は、まだ２の倍数なのです」

わーちゃん先輩が、ピコピコハンマーを持ち上げた。

「だ、だから、皆さんは２で割れる合成数なんです！　たあぁっ！」

パチンッ！

シャボン玉が割れた！

ひーちゃん先輩が、クールに言った。

「君たちに２を足した数は合成数だ。では次は、３を足してみよう」

たーちゃん先輩がラッパを吹く。

あたしの上に、またシャボン玉が浮かんだ。

そしてあたし達は、またシャボン玉に包まれる。

かーちゃん先輩が言った。

「あなたは今、１０１×１００×……×４×３×２×１よ！　つまり、３の倍数よ！」

たーちゃん先輩が言った。

「３の倍数に３を足しても、やっぱり３の倍数のままなのです」

わーちゃん先輩が言った。

「だ、だから、お二人は３で割れる合成数なんです！　たあぁっ！」

ひーちゃん先輩が言った。

「君たちが合成数であることがわかった。では次は、４を足してみよう」

四人が、代わる代わる言う。

「１０１から１までかけた数は４の倍数よ！」

「４の倍数に４を足しても、４の倍数なのです」

「だから、４で割れる合成数です」

「では次は、５を足してみよう」

「１０１から１までかけた数は５の倍数よ！」

「５の倍数に５を足しても、５の倍数なのです」

「だから、５で割れる合成数です」

「では次は、６を足してみよう」

「１０１から１までかけた数は６の倍数よ！」

「６の倍数に６を足しても、６の倍数なのです」

「だから、６で割れる合成数です」

「では次は、７を足してみよう」

ようやくわかった！

あたしは何度も何度もシャボン玉に包まれて、やっと幼女先輩たちの作戦がわかった。

つまりこういうことだ。

１０１×１００×……×２×１　＋　２　←合成数

１０１×１００×……×２×１　＋　３　←上より１大きい合成数

１０１×１００×……×２×１　＋　４　←上より１大きい合成数

１０１×１００×……×２×１　＋　５　←上より１大きい合成数

１０１×１００×……×２×１　＋　６　←上より１大きい合成数

１０１×１００×……×２×１　＋　７　←上より１大きい合成数

・

・

・

この調子で、どこまで続くか？

ここまでだ。

１０１×１００×……×２×１　＋　１０１　←上より１大きい合成数

ｘさんが褒めた。

「素晴らしい方法です。２から１０１までは、１００個。これで、連続する１００個の合成数を作れました。

　そしてこの方法は、階乗する数を１０１より大きくすれば、好きなだけ長くすることができます。

　つまり、１００個でも、１０００個でも、１００００個でも、好きなだけ連続する合成数を作れます」

あたしは今１０１だけど、１００１になれば１０００個の合成数を、１０００１になれば１００００個の合成数を生み出せる。

「これで、ひゃ、ひゃっこめです～！」

ぱちんっ！

シャボン玉が弾けた。

１００個の連続する合成数が作れたことが、実証された！

同時に、あたしの横に並んでいた「あたし達」も消えた。ああ、さようなら「あたし達」……。

「どうだった、ｘ？」

かーちゃん先輩、支配人さんを呼び捨てなんだ……。

「素晴らしい証明でした。清書しましょう」

ｘさんがペンを取り出した。

そしてさらさらっと、空中に文字を書いた。

「問い。自然数列において、合成数が百個以上連続する領域を、素数砂漠と呼ぼう。

　最も長い素数砂漠は、合成数が何個連続するか？

　答え。任意の長さの素数砂漠が存在する。

　なぜなら、ｎを自然数とするとき、数列

　　ｎ！（ｎの階乗）＋２，ｎ！＋３，ｎ！＋４，…，ｎ！＋ｎ

　は、ｎ個の連続する合成数になるからである」

空中に浮かぶ文字列を、ｘさんはしげしげと見つめた。

「素晴らしい証明です。単に存在性を示すだけでなく、その構成法まで示しました」

難しい言葉を使ってるけど、とにかく感動しているようだった。

「特にｎさん」

「はっ、はいっ？」

「あなたの、『見つからないなら作ればいい』というアイディアは、素晴らしいコペルニクス的転回でした。あれがなければ、私たちはずっと道に迷っていたでしょう」

コ、コペ？　よくわかんないけど、誉められているらしい。えへへー。

「では、この答えを、お客様に届けましょう」

ｘさんが、いま書いた答えを、丸で囲った。丸はポンッと鳴ってボールになり、答えを包んだ。

ｘさんが歩くと、ボールはふよふよと浮かびながら、ｘさんの後をついていった。

お客様は、まだ砂漠の真ん中でうろうろしていた。

「素数はどこだ、素数は……」

本当に、お客様にはあたし達の姿は見えていないようだ。

「では、このお客様に、答えをお伝えしましょう」

ｘさんはボールを引き寄せると、お客様の頭にくっつけた。

ボールはにゅるっとお客様の頭の中に入っていく。

するとお客様は、ガバっと顔を上げて、目を輝かせた。

「はっ、そうか！　こうすればいいじゃないか。

　階乗を使って、２から足して……。

　うん、これは良い方法を思いついたぞ……！！」

フッ

あ、あれっ。

お客様が、消えてしまった。

「お、お客様は……？」

「お帰りになられました。元の世界へ」

「元の世界……」

ゲンジツと呼ばれる世界のことだ。

あのお客様は、人間だ。あたし達の暮らす「数学の世界（イデア）」とは、別世界の住人。

「ｎさん。これが私達の仕事です。ゲンジツ世界からやってきたお客様の発する問いに、答えを見つけること。

　それが私達の至上命題なんです」

「それは、はい、わかりました。けど……」

あたしにはまだ気になることがあった。

「あのお客様、最後に、『思いついた』って……。あたし達が見つけたのに」

ｘさんは笑顔で答えた。

「そうです。お客様たちに、私達の姿は見えません。だから、私達が教えたことを、あの方達は『自分で思いついた』と錯覚するのです。

　私達の仕事は、決してあの方達に知られることはありません。

　しかし、お客様に満足していただければ、お客様は再びこのホテルへいらっしゃいます。

　そして問いを見つけ、このホテルの全容を少しずつ明らかにしてくださいます。

　そうすれば、いつかこのホテルの全てを知ることができるでしょう。それが、私達の目指すところです」

無限への挑戦！

このヒルベルトホテルは、無限の広さがある。その全てを知るということは、無限に挑むということだ。

素敵なことだと思った。

「あたしも、一緒に目指したいです」

ｘさんは微笑んだ。

「もちろんです。あなたはもう、ここの従業員なんですから」

そうだった。

あたしは今日、ここに就職したのだ。

「改めまして、ようこそヒルベルトホテルへ。

　これから私達とともに、数学をやっていきましょう」

「はい！　よろしくお願いします！」

あたしは元気よく返事した。

幼女先輩たちがあたしに群がった。

「よろしくなのです」

「よろしく」

「よろしく頼むわ」

「はわ、よろしくです」

「それでは、遅くなりましたが、ホテルの案内をしましょう」

ｘさんが言った。

「まずは、従業員の寮ですね。こちらに……」

そのとき、ザザザッと音がした。

ｘさんが、「失礼」と言って胸元から無線機を取り出した。

「はい、こちらｘ。はい……はい？」

「えっと、どうしました？」

無線機をしまったｘさんは、首を振った。

「すみません、また大きな案件が発生してしまったようです。

　私が向かわざるを得ません。一緒に行きましょう」

「ええっ」

ｘさんが紙にペンを走らせる。

あたしはｘさんの服を掴んだ。

グラッと視界が揺れて、あたしはまた、ワープした。

この世界を少しでも解き明かすために。