数論は面白いですよね。私は大好きです。

間違いと思われる箇所を見つけました。

nが5の倍数の時、nとn+5はどちらも5の倍数となるので、本文中の議論は正確で無いように思われます。

一方、以下の命題が成り立ちます。

nを2以上の自然数とする。

n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5のうち、少なくとも一つは7以上の素因数を持つ。

背理法で示します。この6つの自然数が2、3、5のみを素因数に持つと仮定しましょう。

nは2以上なので、この六つの数はどれも少なくとも一つの素因数を持ちます。

六つのうち、ちょうど三つは奇数です。したがってこの三つは素因数として2を持ちません。また、その三つのうちちょうど一つは3の倍数となります。

すると、残りの二つは5の倍数でなくてはいけませんが(素因数として2も3も持たないためです)、これは矛盾です。

何故なら、与えられた6つの数のうち二つ5の倍数があるとするならばnとn+5でしかありえまえせんが、この二つの偶奇は異なるからです。

したがってn,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5のうち、少なくとも一つは7以上の素因数を持ちます。

それをpとしましょう。この時、pが割り切るのはこの6つの数のうちただ一つであることがわかります。

何故ならば与えられた六つの数の差の最大値は5であり、もし二つに数をpが割り切るのならばその差はp(仮定より7以上)の倍数でなくてはいけないからです。

ここで、この六つの数をどのように二組に分けたとしても、片方はpの倍数であり、もう片方はpの倍数でありません。

よってこの二つの積が等しくなることはあり得ません。

また、n=1の場合も本文中にあるように、ただ一つ5の倍数があるため、同様に示すことができます。

大変長くなりました。もしこの指摘が私の勘違いでしたら申し訳ないです…

上記の証明は以下のサイトを参考にしました。具体的には、第二章の命題2.8です。


http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/20161206Erdos.pdf