一応矛盾・破綻がないようにはしたので、そういうのが好きな方は
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アクタイオン場の最小有効ラグランジアン
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自然単位系 ℏ = c = 1 を用いる。
アクタイオン場を複素スカラー場として置く。
Φ_A(x) = ρ_A(x) exp[iθ_A(x)]
ここで ρ_A は振幅、θ_A は位相である。
■ 0. 記法
本稿では、∗ を通常の積ではなく、時空に関する畳み込みとして用いる。
(A ∗ B)(x) = ∫ d^4y A(x - y; Λ) B(y)
特に 因果応答カーネル を用いる場合は、
(A^R ∗ B)(x) = ∫_{-∞}^{t_x} d^4y A^R(x - y; Λ) B(y)
とし、現在時刻 t_x より未来の y には依存しない。
χ_q^R は関係済みカーネル、すなわち過去だけを参照する因果的応答カーネルである。
自然単位系では d^4y の質量次元は -4 であるため、実空間の χ_q^R(x - y; Λ) は質量次元4を持つ。
s_p^raw は無次元であり、
s_p^Λ(x) = ∫_{-∞}^{t_x} d^4y χ_q^R(x - y; Λ) s_p^raw(y)
により得られる s_p^Λ も無次元である。
χ_q^R は、例えば
∫_{-∞}^{t_x} d^4y χ_q^R(x - y; Λ) = 1
となるように規格化される。
フーリエ空間では、
s_p^Λ(ω, k) = χ_q^R(ω, k; Λ) s_p^raw(ω, k)
となり、このとき χ_q^R(ω, k; Λ) は無次元の有限帯域応答関数として扱える。
また、本稿においては† = エルミート共役 とする
■ 1. 全体構造
有効理論は、局所ラグランジアン密度と、非平衡開放系としての遅延有効作用から構成される。
L_eff,loc = L_matter + L_Gan + L_A + L_med + L_src + L_higher
記憶・履歴効果は、通常の局所ラグランジアン密度ではなく、遅延自己エネルギーを持つ非平衡有効作用として扱う。
■ 2. 自由相アクタイオン場
L_A = (∂_μ Φ_A†)(∂^μ Φ_A) - m_A^2 |Φ_A|^2 - V_eff(|Φ_A|^2)
ここで、m_A は自由相アクタイオン場の有効質量である。
最小の線形極限では、
V_eff(|Φ_A|^2) = 0
としてよい。
強場・高密度・飽和効果を有効的に含める場合は、例えば、
V_eff(|Φ_A|^2) = (λ_A / 2)|Φ_A|^4 + ...
と置く。
この V_eff は、必ずしも基礎場そのものの根源的非線形性ではなく、自由相自己相互作用、またはガンジリウム媒質・環境自由度を粗視化した有効非線形を表す。
■ 3. 物質側の動的運動量流束条件
アクタイオン場の作用領域を表す窓関数 W_A(x) を導入する。
R_A^ν(x) = ∇_μ[ W_A(x) T_m^{μν}(x) ]
R_A^ν は、アクタイオン場の作用領域へ流入・流出する運動量、境界を横切る運動量流束、外部場との運動量交換を表す有効四元力密度である。
自然単位系では、T_m^{μν} の質量次元は4、∇_μ の質量次元は1であるため、
dim[R_A^ν] = 5
である。
物質側の生の動的スカラー量を、例として次のように置く。
s_p^raw = P_dyn[
(R_Aν R_A^ν) / Λ_p^10
+ α_σ (π_μν σ^μν) / Λ_p^5
+ α_π ((u·∇π_μν)(u·∇π^μν)) / Λ_p^10
]
ここで、
R_A^ν ： 開放部分系の運動量交換密度
π_μν ： 非平衡応力、または剪断応力
σ_μν ： 剪断率テンソル
u^μ ： 物質の局所四元速度
Λ_p ： 運動量インピーダンス応答の有効カットオフ
P_dyn ： 静的・保存的成分を落とす動的射影
である。
各項は無次元である。
π_μν は質量次元4、σ_μν は質量次元1、u^μ は無次元である。
実際に応答へ入る量は、生の s_p^raw ではなく、因果的に粗視化された有限帯域量である。
s_p^Λ(x) = (χ_q^R ∗ s_p^raw)(x)
すなわち、
s_p^Λ(x) = ∫_{-∞}^{t_x} d^4y χ_q^R(x - y; Λ) s_p^raw(y)
である。
■ 4. 通常物質による媒質応答項
通常物質の運動量流束条件 s_p^Λ は、自由相アクタイオン場の生成源ではない。
通常物質は、既に存在する自由相アクタイオン場に対して、局所的な有効質量、有効屈折率、運動量インピーダンス条件を与える媒質として働く。
そのため、通常物質との媒質応答項を次のように置く。
L_med = - Δ_A^2 (s_p^Λ) |Φ_A|^2
ここで、
Δ_A^2(s_p^Λ) = μ_A^2 f_p(s_p^Λ)
である。
μ_A は媒質応答の質量スケール、f_p は無次元の応答関数である。
最小の線形応答近似では、
f_p(s) ≃ s
と置ける。
巨視的な閾値性、飽和、コヒーレント増幅を含める場合は、例えば、
f_p(s) = s^2 / (1 + s^2)
または、
f_p(s) = 1 - exp(-s^2)
のような有効応答関数を用いる。
この非線形性は、自由相アクタイオン場そのものの根源的非線形ではなく、媒質側の粗視化応答、閾値性、飽和、コヒーレンス形成に由来する。
■ 5. アクタイオン場能動物質（ガンジリウム）による自由相放出源
L_src = J_G† Φ_A + J_G Φ_A†
J_G(x) = ζ_G Γ_G(x) n_P(x) exp[iθ_G(x)]
ここで、
n_P ： 束縛相プロキオン在庫
Γ_G ： 流体化、THz格子ゲート、局所電場、電圧勾配、電力密度、温度、位相同期をまとめた放出活性
θ_G ： ガンジリウム・エミッタから自由相へ写像される放出位相
ζ_G ： 放出効率
である。
通常物質では J_G ≒ 0。
流体ガンジリウムが放出ゲート条件を満たした場合のみ、J_G ≠ 0 となる。
■ 6. 高次項
L_higher = Σ_n c_n O_n / Λ_UV^(d_n - 4)
O_n は質量次元 d_n の高次演算子、c_n は無次元係数、Λ_UV はこの有効理論の紫外カットオフである。
本理論は、現段階では有限カットオフを持つ有効場理論として扱う。
■ 7. 非平衡記憶カーネル
記憶・履歴効果は、場の方程式に遅延自己エネルギーとして入る。
複素場の一般形を扱うため、Nambu 二成分場を導入する。
Ψ_A(x) = ( Φ_A(x), Φ_A†(x) )^T
古典平均場の方程式は、一般には次のように表される。
[ □ + m_A^2 + V_eff'(|Φ_A(x)|^2) + Δ_A^2(s_p^Λ(x)) ] Φ_A(x)
+ ∫_{-∞}^{t_x} d^4y [ Σ_11^R(x - y) Φ_A(y) + Σ_12^R(x - y) Φ_A†(y) ]
= J_G(x)
ここで、
V_eff'(|Φ_A|^2) = dV_eff / d(|Φ_A|^2)
である。
Σ_11^R は、Φ_A 成分に対する通常の遅延自己エネルギーである。
Σ_12^R は、Φ_A と Φ_A† の混合を表す非対角の遅延自己エネルギーである。
U(1) 位相対称性が有効に保たれる近似では、
Σ_12^R = 0
となり、
∫ Σ_11^R Φ_A
のみを残すことができる。
一方、ガンジリウム放出源や媒質が位相基準を固定し、Φ_A と Φ_A† の混合を許す場合は、
Σ_12^R ≠ 0
となる。
Σ_12^R による U(1) 位相固定、または Nambu 非対角混合の強さを表す無次元秩序パラメータとして、
B_A(x) = |Σ_12^R(x)| / Ω_A^2
を導入する。
また、位相固定の向きを、
β_A(x) = arg Σ_12^R(x)
と置く。
ここで、Ω_A は比較に用いる有効質量スケールである。
Σ_12^R = 0 なら B_A = 0 となり、U(1) 対称性が有効に保たれる通常応答に戻る。
Σ_12^R ≠ 0 なら B_A は非ゼロとなり、位相固定、波面整列、反射・散乱モード比率、運動量インピーダンス反作用の増幅率に影響する。
最小の線形極限では、
V_eff = 0
であり、さらに U(1) 対称性が有効に保たれる場合、
[ □ + m_A^2 + Δ_A^2(s_p^Λ(x)) ] Φ_A(x)
+ ∫_{-∞}^{t_x} d^4y Σ_11^R(x - y) Φ_A(y)
= J_G(x)
となる。
Σ_ij^R はアクタイオン場側の遅延自己エネルギーであり、未来には依存しない。
この式は局所クライン＝ゴルドン方程式ではなく、因果的な非局所有効方程式である。
低周波・短記憶近似が成り立つ場合に限り、自己エネルギー項を局所的な質量補正、減衰項、位相遅れ項として展開できる。
■ 8. 物質側に現れる反作用
媒質応答による相互作用エネルギー密度を、
U_A = Δ_A^2(s_p^Λ) |Φ_A|^2
と置く。
物質側に現れる反作用は、四元力密度 K_A^μ として、
∇_ν T_m^{μν} = K_A^μ
により定義する。
全体系では、
∇_ν (T_m^{μν} + T_A^{μν} + T_env^{μν}) = 0
が成立する。
ここで、T_A^{μν} はアクタイオン場側のエネルギー・運動量テンソル、T_env^{μν} は粗視化された環境自由度のエネルギー・運動量テンソルである。
時空計量を (-,+,+,+) とし、物質の局所四元速度を u^μ とする。
空間射影テンソルを、
Δ^{μν} = g^{μν} + u^μ u^ν
と定義する。
保存的・断熱的な局所反作用は、
K_rev^μ = - Δ^{μν} ∇_ν U_A
で近似される。
この K_rev^μ は、
u_μ K_rev^μ = 0
を満たし、物質の局所静止系では三次元力密度
f_rev = -∇U_A
に一致する。
展開すると、
f_rev = - [ Δ_A^2(s_p^Λ) ∇|Φ_A|^2 + |Φ_A|^2 (dΔ_A^2/ds_p^Λ) ∇s_p^Λ ]
である。
第一項は、自由相アクタイオン場の強度勾配による反作用である。
第二項は、物質側の動的運動量流束条件 s_p^Λ の空間変化による反作用である。
したがって、物質側の非一様性、衝突、急減速、剪断、圧縮、境界通過に由来する効果は、∇s_p^Λ の項に含まれる。
一般の加速・剪断・境界通過を含む過程では、
K_A^μ = K_rev^μ + K_geom^μ + K_diss^μ + ξ_A^μ
と書く。
K_geom^μ は、u^μ、W_A、π_μν、σ_μν、および射影テンソル Δ^{μν} の時空変化から生じる幾何学的・構成的補正項である。
K_diss^μ は、遅延自己エネルギー、位相遅れ、環境自由度への散逸に対応する非保存的な四元力密度である。
ξ_A^μ は、粗視化に伴うノイズ項であり、古典平均場近似では省略できる。
局所静止系かつ低勾配近似では、
K_geom^μ ≃ 0
となり、三次元表示で
f_rev = -∇U_A
に落ちる。
実験室系または物質の局所静止系における三次元表示では、
f_A = f_rev + f_geom + f_diss + ξ_A
となる。
低損失・準静的近似では、
f_A ≃ -∇U_A
と書ける。
低変動・局所近似で、s_p^Λ が空間的にほぼ一様、または ∇s_p^Λ が場の勾配項に比べて小さい場合に限り、
f_A ≃ C_Φ[s_p^Λ, K_A^N, Φ_A] ∇φ_A
と略記できる。
より一般には、
f_A ≃ C_Φ[s_p^Λ, K_A^N, Φ_A] ∇φ_A
+ C_s[s_p^Λ, K_A^N, Φ_A] ∇s_p^Λ
+ f_geom
+ f_diss
+ ξ_A
のように、場側の勾配項、物質側の勾配項、幾何学的補正項、散逸項、ノイズ項を分けて書く。
ここで、
φ_A = Φ_A + Φ_A†
である。
K_A は、アクタイオン場側の局所密度、位相コヒーレンス、波面整列度、コヒーレンス長、コヒーレンス時間、場の勾配スケール、放出源 J_G の位相配列、散乱・反射・損失モード比率、記憶カーネル由来の履歴性をまとめた有効カーネルである。
Nambu 構造を含む場合、場側カーネルを
K_A^N = { K_A, Σ_11^R, Σ_12^R, B_A, β_A }
とまとめる。
C_Φ および C_s は無次元定数ではなく、μ_A、Λ_p、Δ_A^2、Φ_A、媒質応答、場側コヒーレンス条件、Nambu 非対角混合、位相固定秩序パラメータ B_A、および位相固定方向 β_A を含む次元付き有効応答係数である。