算数！ 数学！ 教えてタナカケン教授！

theme #３ ３元連立方程式？ 連立３元方程式？

　質問をいただきました。「どうしても次の問題の答えが分数になってしまう。できればｙを消去で」

　ほう、そうですか。分数が出てくるってどんな問題でござんしょ。

【問】次の連立3元1次方程式を解きなさい。

　2x-y+2z=7

　3x+2y-z=-16

　-x+3y+3z=5

　ふむ。なるほど――ｙを先に消去してほしいのね。っていうか！　いきなり３元ですか！

　１次方程式　⇒　連立１次方程式　⇒　連立３元１次方程式

　(。´・ω・)うーん。うまく説明できるかな。

　問題を解く前に、連立３元の３元とは何か？　この場合で言う３元はｘ、ｙ、ｚの３つの文字のことです。普通の連立方程式は２元なわけですね。ちなみに２元の連立方程式を解くには２つの式が必要で、３元ならば３つになります。

　では、解き方の方針なのですが、ある式を変形して文字に代入できる形にします。代入すると連立方程式になる感じです。

　具体的にやりますね。

　２ｘ－　ｙ＋２ｚ＝７　　　　…①

　３ｘ＋２ｙ－　ｚ＝－１６　　…②

　－ｘ＋３ｙ＋３ｚ＝５　　　　…③

　とりあえず、どの文字でもよいので ｙ＝ の形にして代入できるように変形して――、

　ん？　これあれだな。－ｙ、－ｚ、－ｘって項があるから、式にかけるといいんだな。

　方針チェーーンジ。

　どの文字でも行けますが、ｙを消しますか。

　①の式の両辺に２をかけると、

　４ｘ－２ｙ＋４ｚ＝１４　　　…①×２

　３ｘ＋２ｙ－　ｚ＝－１６　　…②

　より、②＋①×２をすると、

　７ｘ＋３ｚ＝－２　　　　　　…④

　①の式の両辺に３をかけると、

　６ｘ－３ｙ＋６ｚ＝２１　　　…①×３

　－ｘ＋３ｙ＋３ｚ＝５　　　　…③

　より、③＋①×３をすると、

　５ｘ＋９ｚ＝２６　　　　　　…⑤

　これで④と⑤から連立方程式、

　７ｘ＋３ｚ＝－２　　　　　　…④

　５ｘ＋９ｚ＝２６　　　　　　…⑤

　が出来上がりました。じゃあ、この④の両辺に（－３）をかけますか。

　－２１ｘ－９ｚ＝６　　　　　…④×（－３）

　　　５ｘ＋９ｚ＝２６　　　　…⑤

　④×（－３）と⑤の両辺を足して、

　－１６ｘ＝　３２　　←　ｘの係数をプラスしたいので両辺に（－１）をかける。

　　１６ｘ＝－３２

　　　　ｘ＝－２

　このｘ＝－２を④に代入すると、

　７×（－２）＋３ｚ＝－２

　　　　－１４＋３ｚ＝－２

　　　　　　　　３ｚ＝－２＋１４

　　　　　　　　３ｚ＝１２

　　　　　　　　　ｚ＝４

　ここで出てきた、ｘ＝－２とｚ＝４を①に代入。

　２×（－２）－ｙ＋２×４＝７

　　　　　　　－４－ｙ＋８＝７

　　　　　　　　　　　－ｙ＝７＋４－８

　　　　　　　　　　　－ｙ＝３

　　　　　　　　　　　　ｙ＝－３

　よって、解答は、

　ｘ＝－２、ｙ＝－３、ｚ＝４

　となります。

　３元の連立方程式が出てきた場合には１つの文字を消して連立方程式に持っていくのが定石です。パターンとしてはｘ＝（式）やｙ＝（式）の形に持っていき、他の式に代入しますが、今回のように項に－ｘや－ｙがあった場合、上記のような方法も取ることができます。

　解に分数が出てきたときには、式のどこかで＋－の符号を間違っているかもしれません（実際に計算をしていてケアレスミスをしていた）式を丁寧に書いて残しておくのは見直す意味でも大切ですね。

今回の解説はここまで。質問・疑問などは

https://kakuyomu.jp/users/info_dhalsim/news/16818093077980989611

にコメントしてください。

(。´・ω・)ん?　もう少しコミカルに解説してって？

（－２ｘ）＼(。´・ω・)／（２ｘ）

　　　　　　(。´・ω・)／おりゃー！

　　　　　　(。´・ω・)　０

　連立方程式の係数は工夫しよう。ではでは。