第20話
宿に帰るなり早速、作図の構想に取りかかった。
円周率の時とは違い、確度の高い見通しも立っている。
あの時は膨大な数字の正多角形を相手にしていたが、今回は正七角形だ。
正5760角形から考えたら、数字でおよそ 1 / 823 だ。
余裕だ。
余裕過ぎて、思わずニコニコ顔になってしまう。
さて。
今回のミッション攻略の方法は、主に2つ。
1つ目は、長さで攻めていく方法。
2つ目は、角度で攻めていく方法。
まずは、長さで攻める。
この方法は、至ってシンプルだ。
円を描いて、その円周上に正七角形になりそうな長さで、実際に描いていく。
始点と終点が一致すれば作図完了。
終点が始点に届かなければ、一辺の長さを長くして再挑戦。
行きすぎてしまったら、一辺を短くして再挑戦。
トライアル&エラーでのごり押し。
発想は1%で構わない。残りの99%は、努力によって補う。
力こそパワー！
さて、作図に取りかかろう。
そうして、正七角形に向けて、手を動かし始めた。
結果は。
散々だった。
作図すること自体は、なんとか可能だった。
けれども、再現性が低すぎた。
3回作図して、成功は1回、残りの2回は失敗する。
そして、その失敗の具合もバラバラだった。
原因は2つ。
コンパスの性能と、人間性能だ。
体感だが、この2つの性能はブレが大きい。
そしてその2つのブレは乗算され、結果として出てくる。
両方ともピッタリはまらないと、正しい結果が得られない。
これでは、実用性は低い。
そもそも誤差0.1%に抑えられる可能性は、ほぼない。
この方法はダメだった。
いいんだ。
手段はまだある。
次は、角度から攻める。
正しい正七角形の作図。
まずは円を描いく。
次に、その中心角が 360 / 7 ° となるように、うまく角度をとる。
これができれば、正七角形の一辺が作図できる。
最後に、その一辺をもとに、残りの6つの辺を作図する。
これが本来の正七角形の、理論的な作図方法だ。
とっても簡単でしょ！
そうは問屋が卸さない。
実際に問題になるのは 360 / 7° を精密に測りとる所だ。
どんなに精密な分度器があったとしても、360 / 7° を測りとることはできない。
ではどうするか。
第一の武器。中心角ではなく、外角を利用する。
第二の武器。角度を高さに置き換える。
第一の武器については、図形の性質を利用した。
正多角形は中心角と外角が一致する性質がある。
中心角は場所的に扱いづらいので、外角の方に注目して、そちらで作業をしていく。
第二の武器については、かなり実験的だ。
何かを何かに置き換えることは、算数・数学では良くあることだ。
例えば銀貨一枚の質量は7gと決まっている。
このことから、枚数と
3787
具体的には、7
物事を別の視点で捉えて理解する手法だ。
では、なぜ角度を高さに置き換える、なんてことが実験的な試みなのか。
それは、角度に対応する高さが正しい値がわからないからだ。
さっきの銀貨の話では、きちっとした対応があった。
1枚で7
枚数と
常に同じ分数、比になっている。この性質が大切だ。
でも、角度と高さの値の間に、この性質はない。
角度が 30° のときに高さが1cmだったとしても、 60° で2cm、 90° で3cm、とは絶対にならない。
だから、角度を高さに置き換えようなんて考えは、いまのいままでなかった。
でも、今回に関しては有効なはずだ。
誤差があってもいい。
角度が 360 / 7° のときだけ、高さが分かればいい。
この2つの条件が揃った、この状況なら、この考えは効果的なはずだ。
美しくはない。
でも、有用ではある。
そう信じてやってみる。
そうだ。
やってみることは大切だ。
私みたいな、凡夫には特に。
手始めに半径10cm円から取りかかる。
円の一点から、高さの基準になる接線を引く。
それから、 360 / 7° 、およそ 51.4°の角度で1mの線を引いた。
基準線からの高さを測ると、およそ78.15cm。あとは1mの直線と、円との交点とを結び、その線分の長さをコンパスで図り取って、その長さで円周を切り取っていった。
その結果は。
始点と、終点が。
ほぼ一致した。
声にならない声を抑えるように、口許に手を当てた。
それから深呼吸をして、半径を10cmから1mの円にして同じことを行った。
円を10倍の大きさにした。
そうすることで、先程の作図と比べて10倍精緻な作図が可能になる。
その結果は。
終点は、始点に、僅かに届かなかった。
思わず笑みがこぼれる。
そうだ。
こんなに簡単に終わるわけがない。
と同時に、ゴールまでさほど遠くないことを感じていた。
高さを 78.16cm、 78.17cm と、ほんの少しずつ変化さながら、さっきと同じ作業を続けた。
そうして。
高さ 78.18cmで終点と始点が、ほぼ一致した。
違いがあっても 0.5mmあるかないか。
正確な値は分からないが、 0.5mmのズレは全体の 0.0083% よりも小さい。
おおよそ 0.008% だ。
トリルさんに宣言した0.1%を余裕でクリアした。
終了だ。
私は、あっけにとられた。
こんなものなのか。
私は、3回繰り返し、3回とも誤差が0.5mm以内に収まることを確認した。
十分に実用的な作図だ。
「終わった」
あまりも突然に訪れた、現実に気持ちが追い付かない。
正確な作図はできないだろう、そう言われている正七角形が、誤差があるとはいえこんなにもあっさりと作図できてしまった。
夢でも見ているのではないだろうか。
この現実を受け入れるには、もう少し時間が欲しい。
こんなときは。
「そうだ。古本屋にいこう」
頭を空っぽして、現実逃避をしよう。
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