「わしみたいな年寄りに無理させて倒れたらどうするんだ」
「先生が当直で院内におられればこそ、速やかに対応できますから」

のやり取り、笑いました。実際問題として、当直医が複数おられる病院なら、可能ですものね。

一人当直の病院で、当直中の医師が、深夜に当直室で急変、亡くなっていた、という話や、年配の先生の当直で、階段の踊り場で足を滑らせて転倒、その場で動けなくなっているのを3時間後に発見。大腿骨頚部骨折だった、という話を聞いたことがあります。

私が聞くところと、周りを見る限り専属ドライバーを個人で雇用するのは国会議員くらいでしょう。
社長や医院長は法人雇用で社員、嘱託員のような形式です。
新潟古町の料亭街でみるのはだいたい社用車みたいですね