巨大数で遊ぼう！ ～Second season～

第３章 巨大数研究

第９話 𝐌の大小関係（旧版）

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　■　大小関係で使う記号　■

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　■𝐌（∈）　: 集合𝐌の任意の要素

　■0　: Pᵪ¹

　■a　: そのaが仮設されたコア数と同じ番地の数

　■b　: そのbが仮設されたコア数と同じ番地の数

　■c　: そのcが仮設されたコア数と同じ番地の数

　■d　: そのdが仮設されたコア数と同じ番地の数

　■e　: そのeが仮設されたコア数と同じ番地の数

　■…𝙯　: ０個以上の、その…𝙯が仮設されたコア数と同じ番地の数

　■𝙨…　: ０個以上の、その𝙨…が仮設されたコア数と同じ番地の数

　■𝙨₁…　: ０個以上の、その𝙨₁…が仮設されたコア数と同じ番地の数

　■𝙨₂…　: ０個以上の、その𝙨₂…が仮設されたコア数と同じ番地の数

　■0…　: 𝙨…に対応する０個以上のPᵪ¹

　■𝐏　: その𝐏が仮設されたコア数の番地よりひとつ大きな番地のPᵪ¹

　■𝐑　: 𝐏以外の、その𝐑が仮設されたコア数の番地より大きな番地の数

　■𝐀　: その𝐀が仮設されたコア数の番地より大きな番地の数

　■𝐁　: その𝐁が仮設されたコア数の番地より大きな番地の数

　■𝐆　: 𝐀より大きな数

　■𝐄　: 𝐀よりひとつ大きな数

　■𝐅　: 𝐀よりふたつ以上大きな数

　■𝐓　: 𝐀より番地が大きな数

　■𝐭　: 𝐀より番地が小さな数

　■𝙓…　: ０個以上の文字列

　■𝙭…　: ０個以上の「𝙓…」に対応する条件付きの文字列

　■…𝙔　: ０個以上の、コア数であるような任意の文字列

　■…𝙔₁　: ０個以上の、コア数であるような任意の文字列

　■…𝙔₂　: ０個以上の、コア数であるような任意の文字列

　■…𝙔₃　: ０個以上の、コア数であるような任意の文字列、ただし、いずれの項にも𝐀より番地が大きい数はない。

　■…𝙔₄　: ０個以上の、コア数であるような任意の文字列、ただし、「…𝙔₃」を仮設している項を「第ε項」としたとき、「第ε項」にある数は𝐀より番地が大きい。

　■+1　: 　+Pᵪ²　

　■𝐀⊕1　: 𝐀の番地がᵪであればPᵪ₊₁¹

　■Pᵥ₊ᵩ¹　: 「ᵥ」は「Pᵥ₊ᵩ¹」の記号が仮設されているコア数の番地の値。「ᵩ」は(φ)の「φ」の値。

　■(φ)　:非標準形数

　・任意のコア数𝒜について、そのコア数の番地の値をv₀とし、そのいずれかの項にある数のうち最大の番地の数の番地の値をv₁とする。

　・v₁-v₀の値を「段差」と呼ぶ。如何なる段差についても０以上の整数であり、段差がxであれば、そのxはコア数𝒜の値である。

　・段差の値がxであるような任意のコア数𝒜について、その構造に、段差の値がxよりも大きな、かつ、段差の値が最大となるコア数ℬがあるのであれば、そのコア数ℬを構造に持つ、コア数𝒜の項にあるコア数𝒞を「非標準形数」とする。

　・非標準形数は(φ)と表記され、「φ」はコア数ℬの段差の値である。

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　■　大小関係　■

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　　01:　番地の大きさが「B>A」かつ「C>A」であるような如何なる数「A」「B」「C」についても「C>(…𝙔₂,B,…𝙔₁,A)」である。

　　02:　一律なPᵪ¹の有限個の和で到達できない最小の数がPᵪ²である。

　　03:　一律なPᵪ²の有限個の和で到達できない最小の数が(Pᵪ¹)である。

　　04:　一律な(Pᵪ¹)の有限個の和で到達できない最小の数が(Pᵪ¹+1)である。

　　05:　如何なる(Pᵪʷ)でも到達できない最小の数が(Pᵪ¹,Pᵪ¹)である。

　　06:　一律な(…𝙔,a)の有限個の和で到達できない最小の数が(…𝙔,a+1)である。

　　07:　(b,a)=aとなる最小のaが(b+1,0)である。

　　08:　(a,b)=aとなる最小のaが(0,0,0)である

　　09:　(…𝙯,b,a,𝙨…)=aとなる最小のaが(…𝙯,b+1,0,0…)である。

　　10:　(a,b,𝙨…)=aとなる最小のaが(0,0,0,0…)である。

　　11:　(…0,Pᵪ¹)の如何なる有限個の0でも到達できない最小の数が(Pᵪ¹,Pᵪ¹⊕1,Pᵪ¹)である。

　　12:　(…𝙔,b,𝐀,a)=aとなる最小のaが(…𝙔,b,𝐀,0,0)である。

　　13:　(…𝙔,b,𝐀,…𝙯,a,𝙨…)=aとなる最小のaが(…𝙔,b,𝐀,…𝙯,0,0,0…)である。

　　14:　(a,b,𝙨₂…,𝐀,c,𝙨₁…)=aとなる最小のaが(0,0,0,0…,𝐀,0)である。

　　15:　(…0,0,𝐀,c,𝙨…)の有限個の0で到達できない最小の数が(0,𝐏,0,𝐀,0)である。

　　16:　(…𝙔,c,𝐁,a,𝐀,b,𝙨…)=aとなる最小のaが(…𝙔,c,𝐁,0,0,𝐀,0)である。

　　17:　(…𝙔,d,𝐁,…𝙯,c,a,𝙨₂…,𝐀,b,𝙨₁…)=aとなる最小のaが(…𝙔,d,𝐁,…𝙯,c+1,0,0…,𝐀,0)である。

　　18:　(…𝙔,d,𝐁,a,c,𝙨₂…,𝐀,b,𝙨₁…)=aとなる最小のaが(…𝙔,d,𝐁,0,0,0,0…,𝐀,0)である。

　　19:　(…𝙔₃,d,𝐏,…0,0,𝐀,b,𝙨₁…)の有限個の0で到達できない最小の数が(…𝙔₃,d+1,𝐏,0,𝐀,0)である。

　　20:　(…𝙔,d,𝐑,…0,0,𝐀,b,𝙨₁…)の有限個の0で到達できない最小の数が(…𝙔,d,𝐑,0,𝐏,0,𝐀,0)である。

　　21:　(…𝙔,d,𝐁,a,𝐀,c,𝙨…,𝙓…)=aとなる最小のaが(…𝙔,d,𝐁,0,0,𝐀,0,𝙭…)である。

　　22:　(…𝙔,d,𝐁,…𝙯,c,a,𝙨₂…,𝐀,e,𝙨₁…,𝙓…)=aとなる最小のaが(…𝙔,d,𝐁,…𝙯,c+1,a,0…,𝐀,0,𝙭…)である。

　　23:　(…𝙔,d,𝐁,a,c,𝙨₂…,𝐀,e,𝙨₁…,𝙓…)=aとなる最小のaが(…𝙔,d,𝐁,0,0,0,0…,𝐀,0,𝙭…)である。

　　24:　(…𝙔,d,𝐏,…0,0,𝐀,e,𝙨…,𝙓…)の有限個の3で到達できない最小の数が(…𝙔,d+1,𝐏,0,𝐀,0,𝙭…)である。

　　25:　(…𝙔,d,𝐑,…0,0,𝐀,e,𝙨…,𝙓…)の有限個の3で到達できない最小の数が(…𝙔,d,𝐑,0,𝐏,0,𝐀,0,𝙭…)である。

　　26:　(…0,0,𝐀,e,𝙨…,𝙓…)の有限個の3で到達できない最小の数が(0,𝐏,0,𝐀,0,𝙭…)である。

　　27:　(…{0,𝐀},0,𝐀,0,𝐀,0)の有限個の0,𝐀で到達できない最小の数が(0,𝐀+1,0)である。

　　28:　(…𝙔,d,𝐄,…{0,𝐀},0,𝐀,0,𝐀,0)の有限個の0,𝐀で到達できない最小の数が(…𝙔,d+1,𝐄,0)である。

　　29:　(…𝙔,d,𝐅,…{0,𝐀},0,𝐀,0,𝐀,0)の有限個の0,𝐀で到達できない最小の数が(…𝙔,d,𝐅,0,𝐀+1,0)である。

　　30:　(…{0,𝐀},0,𝐀,0,𝐀,0,𝐆,e,𝙨…,𝙓…)の有限個の0,𝐀で到達できない最小の数が(0,𝐀+1,0,𝐆,0,𝙭…)で

　　31:　(…𝙔,d,𝐄,…{0,𝐀},0,𝐀,0,𝐀,0,𝐆,e,𝙨…,𝙓…)の有限個の0,𝐀で到達できない最小の数が(…𝙔,d+1,𝐄,0,𝐆,0,𝙭…)である。

　　32:　(…𝙔,d,𝐅,…{0,𝐀},0,𝐀,0,𝐀,0,𝐆,e,𝙨…,𝙓…)の有限個の0,𝐀で到達できない最小の数が(…𝙔,d,𝐅,0,𝐀+1,0,𝐆,0,𝙭…)である。

　　33:　(0,𝐀,0)の如何なる𝐀でも到達できない最小の数が(0,𝐀⊕1,0)である。

　　34: (…𝙔₄,…𝙔₃,d,𝐀,c,𝙨₂…,𝐓,e,𝙨₁…,𝙓…)の如何なる𝐀でも到達できない最小の数が(…𝙔₄,0,𝐀⊕1,0,𝐓,0,𝙭…)である。

　　🔰例

　　・(3,5,3,7,3,7,3)➡(3,∞,3,7,3,7,3) < (3,7,3,7,3,7,3)

　　・(3,5,3,7,3,5,3)➡(3,∞,3,7,3,5,3) < (3,7,3,7,3)

　　・(3,5,3,7,3,3,3,7,3)➡(3,∞,3,7,3,3,3,7,3) < (3,7,3,7,3,7,3)

　　・(3,7,3,7,3,11,3,11,3)➡(3,7,3,∞,3,11,3,11,3) < (3,11,3,11,3,11,3)

　　・(3,49,3,7,3,11,3,11,3)➡(3,49,3,∞,3,11,3,11,3) < (3,11,3,11,3,11,3)

　　・(27,11,27,7,3,11,3,11,3)➡(27,11,27,∞,3,11,3,11,3) < (27,11,3,11,3,11,3,11,3)

　　35:　(…𝙔₄,…𝙔₃,d,𝐀,c,𝙨₂…,𝐭,e,𝙨₁…,𝙓…)の如何なる𝐀でも到達できない最小の数が(…𝙔₄,0,𝐀⊕1,0,𝙭…)である。

　　🔰例

　　・(3,7,3,5,3,7,3)➡(3,∞,3,5,3,7,3) < (3,11,3)

　　・(3,7,3,5,3,11,3)➡(3,∞,3,5,3,11,3) < (3,11,3,11,3)

　　・(3,7,3,5,3,11,3,3,3)➡(3,∞,3,5,3,11,3,3,3) < (3,11,3,11,3)

　　36:　(0,(φ),0)は(0,Pᵥ₊ᵩ¹,0)と等しい。

　　37:　(…𝙔,d,(φ),c,𝙨₂…,𝐓,e,𝙨₁…,𝙓…)は(…𝙔,d,Pᵥ₊ᵩ¹,0,𝐓,0,𝙭…)と等しい。

　　38:　(…𝙔,d,(φ),c,𝙨₂…,𝐭,e,𝙨₁…,𝙓…)は(…𝙔,d,Pᵥ₊ᵩ¹,0,𝙭…)と等しい。

　　🔰「36」「37」「38」の例

　　・(3,(5,(7,(11,…,11),7),5),3) = (3,7,3)

　　・(3,(5,(7,13,7),5),3) = (3,7,3)

　　・(3,(5,(7,(13,23,13),7),5),3) = (3,(5,(7,17,7),5),3) = (3,(5,13,5),3) = (3,11,3)

　　・(3,(7,(13,(19,31,19),13),7),3) = (3,(7,(13,23,13),7),3) = (3,(7,17,7),3) = (3,11,3)

　　・(3,(5,(7,(13,29,13),7),5),3) = (3,(5,(7,19,7),5),3) = (3,(5,17,5),3) = (3,13,3)

　　・(3,(5,11,5),3) = (3,7,3)

　　・(3,(5,5,5,11,5),3) = (3,7,3)

　　・(3,(5,11,5),3,3,3) = (3,7,3)

　　39:　ƒ[𝒜;n] = ℬとなる如何なる「𝒜」と「ℬ」についても「𝒜 >ℬ」である。

　　40:　如何なる「𝐌（∈）」についても「𝐌（∈）」より大きな最小の数は「𝐌（∈）+Pᵪ²」である。

　　41:　如何なる「𝐌（∈）」についても、「𝐌（∈）」に加算する数が「𝒜 >ℬ」であれば「{𝐌（∈）+𝒜}>{𝐌（∈）+ℬ}」である。

　　42:　任意の数を□としたとき、如何なる(…𝙔₂,□,…𝙔₁)についても、□が「𝒜 >ℬ」であれば「(…𝙔₂,𝒜,…𝙔₁)>(…𝙔₂,ℬ,…𝙔₁)」である。

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　■　𝙭… の条件　■

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　・「𝙓…」は項が０個でないのであれば２以上の偶数個の項がある。

　・「𝙓…」の２以上の偶数個の項について、以下の条件をすべて満たす様に変換する。

　・「𝙓…」のある項を「第𝑒項」と置く。

　■「21」「22」「23」「24」「25」「26」

　　　・条件 ❶　コア数と同じ番地の数は全て「0」にする。

　　　・条件 ❷　奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」になるように、コア数と同じ番地の「0」を消す。

　　　・条件 ❸　偶数項にある数は、「𝐀」と等しいか、「𝐀」より「Pᵪ²」以上大きいか、もしくは「番地」が大きくなるように、「𝐀」よりも小さい、かつ、コア数と同じ番地の「0」以外の数を消す。奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」でなくなれば「❷」を行う。

　　　・条件 ❹　任意の偶数項にある数を「□」と置くと、その「□」のある項を「第ε項」とした場合、「第{ε-２}項」が存在するのであれば、「第{ε-２]項」にある数は、「□」と等しいか、「□」より「Pᵪ²」以上大きいか、「番地」が大きくなるように、「□」よりも小さい、かつ、コア数と同じ番地の「0」以外の数を消す。奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」でなくなれば「❷」を行う。

　■「30」「31」「32」

　　　・条件 ❶　コア数と同じ番地の数は全て「0」にする。

　　　・条件 ❷　奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」になるようにコア数と同じ番地の「0」を消す。

　　　・条件 ❸　偶数項にある数は、「𝐆」と等しいか、「𝐆」にある数より「Pᵪ²」以上大きいか、もしくは「番地」が大きくなるように、「𝐆」よりも小さい、かつ、コア数と同じ番地の「0」以外の数を消す。奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」でなくなれば「❷」を行う。

　　　・条件 ❹　任意の偶数項にある数を「□」と置くと、その「□」のある項を「第ε項」とした場合、「第{ε-２}項」が存在するのであれば、「第{ε-２]項」にある数は、「□」と等しいか、「□」より「Pᵪ²」以上大きいか、「番地」が大きくなるように、「□」よりも小さい、かつ、コア数と同じ番地の「0」以外の数を消す。奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」でなくなれば「❷」を行う。

　■「34」

　　　・条件 ❶　コア数と同じ番地の数は全て「0」にする。

　　　・条件 ❷　奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」になるようにコア数と同じ番地の「0」を消す。

　　　・条件 ❸　偶数項にある数は、「𝐓」と等しいか、「𝐓」にある数より「Pᵪ²」以上大きいか、もしくは「番地」が大きくなるように、「𝐓」よりも小さい、かつ、コア数と同じ番地の「0」以外の数を消す。奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」でなくなれば「❷」を行う。

　　　・条件 ❹　任意の偶数項にある数を「□」と置くと、その「□」のある項を「第ε項」とした場合、「第{ε-２}項」が存在するのであれば、「第{ε-２]項」にある数は、「□」と等しいか、「□」より「Pᵪ²」以上大きいか、「番地」が大きくなるように、「□」よりも小さい、かつ、コア数と同じ番地の「0」以外の数を消す。奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」でなくなれば「❷」を行う。

　■「35」

　　　・条件 ❶　コア数と同じ番地の数は全て「0」にする。

　　　・条件 ❷　奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」になるようにコア数と同じ番地の「0」を消す。

　　　・条件 ❸　偶数項にある数は、「𝐀⊕1」と等しいか、「𝐀⊕1」より「Pᵪ²」以上大きいか、もしくは「番地」が大きくなるように、「𝐀⊕1」よりも小さい、かつ、コア数と同じ番地の「0」以外の数を消す。奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」でなくなれば「❷」を行う。

　　　・条件 ❹　任意の偶数項にある数を「□」と置くと、その「□」のある項を「第ε項」とした場合、「第{ε-２}項」が存在するのであれば、「第{ε-２]項」にある数は、「□」と等しいか、「□」より「Pᵪ²」以上大きいか、「番地」が大きくなるように、「□」よりも小さい、かつ、コア数と同じ番地の「0」以外の数を消す。奇数項のみが全てコア数と同じ番地の「0」でなくなれば「❷」を行う。