　■■■■■■■■■■■■■■

　■　みくみく順序数の概要　■

　■■■■■■■■■■■■■■

　「みくみく順序数」は、「P₂ʷ」を自然数に相当する有限の数とし、そこに自然数の拡張である無限の数として、「極限数」と「後続数」を導入した数である。「みくみく順序数」の表記は　「0」「1」「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」のみの支持体から成る文字列である。以下よりこの表記の構成を「みくみく表記法」と呼称する。この「みくみく順序数」の数の要素は以下の３つに分類できる。

　　❶　「Pᵪ¹」

　　❷　「Pᵪʷ」または「後続数」　{ʷ∠{ʷ ≧２}}　

　　❸　「極限数」

　❶は任意の番地において非負整数の「０」に対応する数である。❷は任意の番地において非負整数の「１」に対応する「Pᵪ²」を減算することが出来る数である。つまり、急増加関数の𝑭 α ⟮n⟯ = 𝑭ⁿ α- 1 ⟮n⟯を適用できる数である。逆に❸は急増加関数の𝑭 α ⟮n⟯ = 𝑭ⁿ α- 1 ⟮n⟯を適用できない数であり、そのために「みくみく順序数の計算規則」が必要となる。

　■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

　■　みくみく順序数の計算規則で使う記号の定義　■

　■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

　■Ø　: コア数(𝓑)をここからは(Ø)と記す。「Ø」はコア数の構造として許容される任意の文字列である。この「Ø」は「コア数」として許容されない文字列を含む。例えば「3,3,3,3」は「コア数」ではないが「Ø」である。

　■Ǿ　: 「Ǿ」は「Ø」と同義。「Ǿ」と「Ø」は自在である。

　■Øᴾᴬᴿᵀ　: 「Øᴾᴬᴿᵀ」はコア数の構造として許容される任意の文字列「Ø」の、その文字列の任意の要素である。

　　🔰例

　　・「,3」はØᴾᴬᴿᵀである。

　　・「3,3,3,3」はØᴾᴬᴿᵀでありØである。

　　・「(3,3,3,3)」はØᴾᴬᴿᵀであり(Ø)であり𝐌の要素であり𝐌₂の要素である。

　　・「(3,3,3,3)(3,3,3,3)」はØᴾᴬᴿᵀであり𝐌の要素であり𝐌₂の要素である。

　　・「(3,3,3,3)(3,3,3,3),3」はØᴾᴬᴿᵀでありØである。

　　・「((3,3,3,3)(3,3,3,3),3)」はØᴾᴬᴿᵀであり(Ø)であり𝐌の要素であり𝐌₂の要素である。

　　・((5,5,5,5)(5,5,5,5),5)」はØᴾᴬᴿᵀであり(Ø)であり𝐌の要素である。

　■𝓒...　: 「𝓒...□」の文字列「□」にある「(Ø)」を除いた、０個の(Ø)、もしくは(Ø)の有限個の和。この「𝓒...□」の「(Ø)」は全て自在である。ただし、「𝓒...(Ø)」の文字列の要素の任意の如何なる「(Ø)(Ǿ)」についても「(Ø)≧(Ǿ)」である。

　　・□を ⁅Pᵪʷ⁆ または⁅Pᵪʰ⁆または ⁅Pᵪ¹⁆ または ⁅Pᵪʷ⁻¹⁆ または ⁅Pᵪʷ⁺ʰ⁻¹⁆としたとき、記号「𝓒...」の情報体を厳密にするための写像──

　　　𝑓₈: ℕ→ℳ₈　

　　　　　x⟼𝑓₈[x]

　　　──を以下に義する。

　　・01:　𝓒...□ = 𝑓₈[x]　

　　　　々:　𝑓₈[0] = □　

　　　　々:　𝑓₈[𝑒] = ⁅(Ø)⁆ 𝑓₈[𝑒-1] 　

　■c　: 「𝓒...(Ø)」　「c」は「z」と「a」と同じ番地である。

　■Pᵪʷ　: 「ω番地数列の定義」を参照。

　■Pᵪʰ　: 「Pᵪʷ」と同じ。

　■ᵪ　: 如何なる「ᵪ」も２以上の整数。１以上ではないので注意されたし。

　■z　: 「Pᵪ¹」　「z」は全て同じ番地であり、「a」と「c」と同じ番地である。

　■a　: 「Pᵪʷ」 or「𝓒...(Ø)Pᵪʷ」　{ʷ∠{ʷ ≧２}}　「a」は「z」と「c」と同じ番地である。

　■b　: 「z」or「a」or「c」

　■…z　: ０個以上の項に「z」　

　■…b　: ０個以上の項に「b」　任意の０個以上の項の「b」は全て自在である。また、「c」や「z」や「a」、その他の「b」とも自在である。ただし、全て同じ番地である。

　■|０個以上の項に□|　: 「…z」と「…b」を「…□」と置く。記号「…□」のある任意の計算規則に対応する文字列を「𝒪」と置く。記号「…□」の情報体から文字列「ℳ₉」への𝑓₉を以下に定義する。

　　・□を ⁅…z⁆ または⁅…b⁆としたとき、記号「…□」の情報体を厳密にするための写像──

　　　𝑓₉: ℕ→ℳ₉　

　　　　　x⟼𝑓₉[x]

　　　──を以下に義する。

　　・01:　(…□, 𝒪) = (𝑓₉[x])　

　　　　々:　𝑓₉[0] = 𝒪　

　　　　々:　𝑓₉[𝑒] = □,𝑓₉[𝑒-1]　

　　・02:　(𝒪 ,…□) = (𝑓₉[x])　

　　　　々:　 𝑓₉[0] = 𝒪　

　　　　々:　 𝑓₉[𝑒] = 𝑓₉[𝑒-1],□　

　　・03:　(𝒪 ,…□, 𝒪) = (𝑓₉[x], 𝒪)　

　　　　々:　𝑓₉[0] = 𝒪　

　　　　々:　𝑓₉[𝑒]= 𝑓₉[𝑒-1],□　

　■C　: 「z」よりも番地が大きい「𝓒...(Ø)」

　■Z　: 「z」を「Pᵪ¹」としたときの「Pᵪ₊₁¹」

　■ζ　: 「z」を「Pᵪ¹」としたときの「Pᵪ₊₁₊ᵨ¹」

　■ᵪᵀᵒᵖ　: 「ζ」を「Pᵪ¹」としたときの「ᵪ」

　■ᵪᴮᵒᵗᵗᵒᵐ　: 「z」を「Pᵪ¹」としたときの「ᵪ」

　■A　: 「z」よりも番地が大きい「Pᵪʷ」or「𝓒...(Ø)Pᵪʷ」　{ʷ∠{ʷ ≧２}} 　

　■B　: 「Z」or「ζ」or「A」or「C」

　■…₀Δ　: ０個以上の項が続く。

　　🔰例(…₀Δ,3)

　　・(3) 　⭕️

　　・(3,3,3) 　⭕️

　　・(3,5,3) 　⭕️

　■₀Δ　: 同じ計算規則番号の「…₀Δ」と同じ文字列。

　■…₂Δ　: ０個以上の項が続く。０個ではない場合は、２個以上の項が続く。ただし「…₂Δ」の仮設されている項を「第𝑒項」としたとき、「第𝑒項」にある数は、「第１項」にある数よりも番地が大きい。

　　🔰例(…₂Δ,3,3,3)

　　・(3,3,3) 　⭕️

　　・(3,3,3,3,3) 　❌

　　・(3,5,3,3,3)　⭕️

　■₂Δ　: 同じ計算規則番号の「…₂Δ」と同じ文字列。

　■…₄Δ　: ２個以上の項が続く。ただし「…₄Δ」の仮設されている項を「第𝑒項」としたとき、「第𝑒項」にある数は、「第１項」にある数よりも番地が大きい。

　　🔰例(…₄Δ,3,3)

　　・(3,3,3,3) 　❌

　　・(3,5,3,3) 　⭕️

　　・(3,9,3,3) 　❌

　■₄Δ　: 同じ計算規則番号の「…₄Δ」と同じ文字列。

　■…₆Δ　: ０個以上の項が続く。０個ではない場合は、２個以上の項が続く。ただし「…₆Δ」の仮設されている項を「第𝑒項」としたとき、「第𝑒項」にある数は、「A」または「C」または「Z」または「ζ」または「B」より、「Pᵪ²」以上大きいか、「番地」が大きい。

　　🔰例(…₆Δ,3,5,3)

　　・(3,5,3) 　⭕️

　　・(3,5,3,5,3) 　❌

　　・(3,25,3,5,3) 　⭕️

　■₆Δ　: 同じ計算規則番号の「…₆Δ」と同じ文字列。

　■δ…　: ２個以上の偶数個の項が続く。ただし「δ…」の仮設されている項を「第𝑒項」としたとき、「δ…」の文字列は次の４つの条件をすべて満たす。

　　・条件 ❶　奇数項は全て「z」である。

　　・条件 ❷　偶数項は全て「z」よりも番地が大きい。

　　・条件 ❸　「第{𝑒 - 偶数}項」にある数は、「第𝑒項」にある数と等しいか、「第𝑒項」にある数より「Pᵪ²」以上大きいか、もしくは「番地」が大きい。

　　・条件 ❹　任意の「第{𝑒 - 偶数}項」にある数を「□」と置くと、その「□」のある項を「第ε項」とした場合、「第{ε-２}項」が存在するのであれば、「第{ε-２]項」にある数は、「□」と等しいか、「□」より「Pᵪ²」以上大きいか、「番地」が大きい。

　　🔰例(3,7,3,δ…)

　　・(3,7,3,7,3)　⭕️

　　・(3,7,3,7,9)　❌

　　・(3,7,3,7,3,7,3)　⭕️

　　・(3,7,3,7,9,7,3)　❌

　　・(3,7,3,7,3,5,3)　❌

　　・(3,7,3,7,3,3)　❌

　　・(3,7,3,11,3)　⭕️

　　・(3,7,3,11,3,3,3)　❌

　　・(3,7,3,11,3,7,3)　❌

　　・(3,7,3,11,3,49,3)　❌

　　・(3,7,3,11,3,11,3)　⭕️

　　・(3,7,3,11,3,13,3)　⭕️

　■δ 　: 同じ計算規則番号の「δ…」と同じ文字列。

　■𝐑𝐮𝐥𝐞▼ 　: 「みくみく順序数の計算規則」の「計算規則番号」の頭に▼のある何れかの計算規則。

　■a-1　: 𝓒... Pᵪʷ⁻¹　{ʷ∠{ʷ ≧２}} 　同じ計算規則番号の「a-1」の「a」は同じ値である。

　■A-1　: 𝓒... Pᵪʷ⁻¹　{ʷ∠{ʷ ≧２}} 　同じ計算規則番号の「A-1」の「A」は同じ値である。

　■■■■■■■■■■■■■■■■

　■　みくみく順序数の計算規則　■

　■■■■■■■■■■■■■■■■

　「みくみく順序数の計算規則」を以下に定める。「みくみく順序数の計算規則」は、❶加算の定義、❷写像の定義、からなる。

　❶加算の定義

　　01:　Pᵪʷ + Pᵪʰ = Pᵪʷ⁺ʰ⁻¹　

　　02:　Pᵪʷ + {𝓒...(Ø)} = 𝓒...(Ø) 　

　　03:　Pᵪʷ + {𝓒...(Ø)Pᵪʷ} = 𝓒...(Ø)Pᵪʷ 　

　　04:　{𝓒...(Ø)} + Pᵪʷ = 𝓒...(Ø)Pᵪʷ　

　　05:　𝓒...(Ø) Pᵪ¹ 〓 𝓒...(Ø)　

　　06:　{𝓒...(Ø)Pᵪʷ} + Pᵪʰ = 𝓒...(Ø)Pᵪʷ⁺ʰ⁻¹　

　　　以下　(Ø)≧(Ǿ)　ならば

　　07:　{𝓒...(Ø)} + {𝓒...(Ǿ)} = 𝓒...(Ø) 𝓒...(Ǿ)　

　　08:　{𝓒...(Ø)} + {𝓒...(Ǿ)Pᵪʷ} = 𝓒...(Ø) 𝓒...(Ǿ)Pᵪʷ　

　　09:　{𝓒...(Ø)Pᵪʷ} + {𝓒...(Ǿ)} = 𝓒...(Ø) 𝓒...(Ǿ)　

　　10:　{𝓒...(Ø)Pᵪʷ} + {𝓒...(Ǿ)Pᵪʰ} = 𝓒...(Ø) 𝓒...(Ǿ)Pᵪʰ　

　　　以下　(Ø)<(Ǿ)　ならば

　　11:　{𝓒...(Ø)} + {𝓒...(Ǿ)} = 𝓒...(Ǿ)　

　　12:　{𝓒...(Ø)} + {𝓒...(Ǿ)Pᵪʷ} = 𝓒...(Ǿ)Pᵪʷ　

　　13:　{𝓒...(Ø)Pᵪʷ} + {𝓒...(Ǿ)} = 𝓒...(Ǿ)　

　　14:　{𝓒...(Ø)Pᵪʷ} + {𝓒...(Ǿ)Pᵪʰ} = 𝓒...(Ǿ)Pᵪʰ　

　❷写像の定義

　ここでは写像の表記を以下の様に略記する。

　　　ƒ [ο_ω ; n] 〓 ƒο_ω　

　　　ƒ [𝓒...(Ø) ; n] 〓 ƒ𝓒...(Ø)　

　　　ƒ [(Ø) ; n] 〓 ƒ(Ø)　

　　　𝐒𝐮𝐦[(Ø),n] 〓 𝐒𝐮𝐦[n]　

　　　𝐍𝐞𝐬𝐭[Øᴾᴬᴿᵀ,n] 〓 𝐍𝐞𝐬𝐭[n]　

　　　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[Øᴾᴬᴿᵀ,n] 〓 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n]　

　　　𝐏𝐇[Øᴾᴬᴿᵀ,n] 〓 𝐏𝐇[n]　

　■(3,Pᵪ¹,3)と表すことのできる如何なるコア数でも到達できない最小の数ο_ωに基本列を与える写像──

　　　　ƒ: Ο×ℕ→𝐌₂　

　　　 [ο_ω ; n ] ⟼ ƒ [ο_ω ; n]

　　　──を以下に義する。

　　01:　ƒ ο_ω = (3,P₍ₙ₊₂₎¹,3)　

　■任意のコア数(Ø)におけるƒの像を𝓶としたとき、任意の極限数𝓒...(Ø)に基本列を与える写像──

　　　　ƒ: 𝐌×ℕ→M　

　　 [ 𝓒...(Ø) ; n ] ⟼ ƒ [𝓒...(Ø) ; n]

　　　──を以下に義する。

　　01:　ƒ 𝓒...(Ø) = 𝓒... ƒ (Ø)　

　　02:　𝓒... ƒ (Ø) = 𝓒... +【(Ø)⟼（ƒ）𝓶】　

　　03:　𝓒... +【(Ø)⟼（ƒ）𝓶】= 𝓒... 𝓶

　　このとき𝓶は「𝓶∈ m」かつ「𝓒... 𝓶 ∈ M」である。　

　■任意の極限数𝓒...(Ø)におけるƒの像を𝓜としたとき、任意のコア数(Ø)に基本列を与える写像──

　　　　　ƒ: 𝐦→m　

　　　　　(Ø)⟼ƒ[(Ø);n]　

　　　　　ƒ: 𝐦→m　

　　　　　　 c⟼ƒ[c;n]　

　　　　　ƒ: 𝐦→m

　　　　　　 C⟼ƒ[C;n]

　　　　𝐒𝐮𝐦: 𝐦ᴾᴬᴿᵀ→mᴾᴬᴿᵀ

　　　　 (Ø)⟼𝐒𝐮𝐦[(Ø),n]　

　　　　𝐍𝐞𝐬𝐭: 𝐦ᴾᴬᴿᵀ→mᴾᴬᴿᵀ

　　　　　Øᴾᴬᴿᵀ⟼𝐍𝐞𝐬𝐭[Øᴾᴬᴿᵀ,n]　

　　　　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭: 𝐦ᴾᴬᴿᵀ→mᴾᴬᴿᵀ

　　　　　Øᴾᴬᴿᵀ⟼𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[Øᴾᴬᴿᵀ,n]　

　　　　　𝐏𝐇: 𝐦ᴾᴬᴿᵀ→mᴾᴬᴿᵀ

　　　　　Øᴾᴬᴿᵀ⟼𝐏𝐇[Øᴾᴬᴿᵀ,n]　

　　　──を以下に義する。

　　01:　ƒ (Pᵪ¹) = Pᵪ ⁿ⁺¹　

　　02:　ƒ (Pᵪ¹,Pᵪ¹) = (Pᵪ ⁿ⁺¹)　

　　03:　ƒ (…₀Δ,a) = 𝐒𝐮𝐦[n]　

　　　々:　𝐒𝐮𝐦[0] = Pᵪ¹　

　　　々:　𝐒𝐮𝐦[𝑒] = (₀Δ,a-1)𝐒𝐮𝐦[𝑒-1]　

　　04:　ƒ (…₀Δ,c) = (₀Δ, ƒ [c ; n])　

　　05:　ƒ (…₂Δ,z,z,z,…z) = (₂Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],z,…z)　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₂Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],z,…z)　

　　06:　ƒ (…₂Δ,…b,a,z,…z) = (₂Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z)　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₂Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],…z)　

　　07:　ƒ (…₂Δ,…b,c,z,…z) = (₂Δ,…b, ƒ [c ; n],z,…z)　

　　08:　ƒ (…₄Δ,z,z) = (₄Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[n])　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₄Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1])　

　　09:　ƒ (…₆Δ,z,Z,z) = (₆Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n])　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z　

　　10:　ƒ (…₆Δ,z,ζ,z) = (₆Δ,z,𝐏𝐇[n],z)　

　　　々:　𝐏𝐇[0] = 𝓟_0　

　　　々:　𝐏𝐇[𝑒] = (𝓟_𝑒,𝐏𝐇[𝑒-1],𝓟_𝑒)　

　　　々:　𝓟_ x : P₍ᵪᵀᵒᵖ₋₁₎₊₍₍ₙ₋ₓ₎⊗₍₍ᵪᵀᵒᵖ₋₁₎₋ᵪᴮᵒᵗᵗᵒᵐ₎₎¹　

　　11:　ƒ (…₆Δ,z,A,z) = (₆Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n])　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , A-1, z 　

　▼12:　ƒ (…₆Δ,z,C,z) = (₆Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n])　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1],【C⟼（ƒ）𝓜】, z　

　　　・(…₆Δ,z,C,z)をC₀と命名する。

　　　・ƒ[C₀ ; n]の【C⟼（ƒ）𝓜】のCについて、Cから𝓜への写像 ƒ[C ; n]で適用される計算規則が𝐑𝐮𝐥𝐞▼ であれば、そのCをC₁と命名する。

　　　・C₁が命名されいないのであれば、そのCをC₁ᴱᴺᴰと命名する。また、C₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜を𝓜₁ᴱᴺᴰと命名する。

　　　・C₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜₁ᴱᴺᴰが得られたのであれば、C₀におけるƒの像の𝓜を【C₁ᴱᴺᴰ⟼（ƒ）𝓜₁ᴱᴺᴰ】で得る。

　　　・ƒ[Cᵨ ; n]の【C⟼（ƒ）𝓜】のCについて、Cから𝓜への写像 ƒ[C ; n]で適用される計算規則が𝐑𝐮𝐥𝐞▼ であれば、そのCをCᵨ₊₁と命名する。

　　　・C₁以上のCᵨが命名されるのであれば、必ずCᵨ₋₁が命名されている。

　　　・C₁以上のCᵨが命名され、Cᵨ₊₁が命名されいないのであれば、ƒ[Cᵨ ; n]の【C⟼（ƒ）𝓜】のCについて、そのCをCᵨ₊₁ᴱᴺᴰと命名する。また、Cᵨ₊₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜を𝓜ᵨ₊₁ᴱᴺᴰと命名する。

　　　・Cᵨ₊₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜ᵨ₊₁ᴱᴺᴰが得られたのであれば、Cᵨにおけるƒの像の𝓜を【Cᵨ₊₁ᴱᴺᴰ⟼（ƒ）𝓜ᵨ₊₁ᴱᴺᴰ】で得る。Cᵨにおけるƒの像の𝓜は𝓜ᵨと命名される。

　　　・C₁におけるƒの像の𝓜₁が得られず、C₂以上かつCᵨ以下の任意のCᵩにおけるƒの像の𝓜ᵩが得られたのであれば、Cᵩ₋₁におけるƒの像の𝓜を【Cᵩ⟼（ƒ）𝓜ᵩ】で得る。Cᵩ₋₁におけるƒの像の𝓜は𝓜ᵩ₋₁と命名される。

　　　・C₁以上かつCᵨ以下の任意のCᵩにおけるƒの像の𝓜ᵩが得られたのであれば、必ず、Cᵩ₊₁におけるƒの像の𝓜ᵩ₊₁か𝓜ᵩ₊₁ᴱᴺᴰが得られている。　

　　　・C₁におけるƒの像の𝓜₁が得られたのであれば、C₀におけるƒの像の𝓜を【C₁⟼（ƒ）𝓜₁】で得る。

　　13:　ƒ (…₂Δ,z,z,…z,B,z) = (₂Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z,B,z)　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₂Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],…z,B,z)　

　　14:　ƒ (…₂Δ,…b,c,z,…z,B,z) = (₂Δ,…b, ƒ [c ; n],z,…z,B,z)　

　　15:　ƒ (…₂Δ,…b,a,z,…z,B,z) = (₂Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z,B,z)　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₂Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],…z,B,z)　

　　16:　ƒ (…₂Δ,…b,a,A,z) = (₂Δ,…b,a-1,A,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n])　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , A-1 , z 　

　　17:　ƒ (…₂Δ,…b,a,Z,z) = (₂Δ,…b,a-1,Z,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n])　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z　

　　18:　ƒ (…₂Δ,…b,a,ζ,z) = (₂Δ,…b,a-1,ζ,z,𝐏𝐇[n],z)　

　　　々:　𝐏𝐇[0] = 𝓟_0　

　　　々:　𝐏𝐇[𝑒] = (𝓟_𝑒,𝐏𝐇[𝑒-1],𝓟_𝑒)　

　　　々:　𝓟_ x : P₍ᵪᵀᵒᵖ₋₁₎₊₍₍ₙ₋ₓ₎⊗₍₍ᵪᵀᵒᵖ₋₁₎₋ᵪᴮᵒᵗᵗᵒᵐ₎₎¹　

　　19:　ƒ (…₂Δ,…b,c,B,z) = (₂Δ,…b, ƒ [c ; n],B,z)　

　▼20:　ƒ (…₂Δ,…b,a,C,z) = (₂Δ,…b,a-1,C,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n])　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] ,【C⟼（ƒ）𝓜】, z　

　　　・(…₀Δ,…b,a,C,z)をC₀と命名する。

　　　・ƒ[C₀ ; n]の【C⟼（ƒ）𝓜】のCについて、Cから𝓜への写像 ƒ[C ; n]で適用される計算規則が𝐑𝐮𝐥𝐞▼ であれば、そのCをC₁と命名する。

　　　・C₁が命名されいないのであれば、そのCをC₁ᴱᴺᴰと命名する。また、C₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜を𝓜₁ᴱᴺᴰと命名する。

　　　・C₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜₁ᴱᴺᴰが得られたのであれば、C₀におけるƒの像の𝓜を【C₁ᴱᴺᴰ⟼（ƒ）𝓜₁ᴱᴺᴰ】で得る。

　　　・ƒ[Cᵨ ; n]の【C⟼（ƒ）𝓜】のCについて、Cから𝓜への写像 ƒ[C ; n]で適用される計算規則が𝐑𝐮𝐥𝐞▼ であれば、そのCをCᵨ₊₁と命名する。

　　　・C₁以上のCᵨが命名されるのであれば、必ずCᵨ₋₁が命名されている。

　　　・C₁におけるƒの像の𝓜₁が得られたのであれば、C₀におけるƒの像の𝓜を【C₁⟼（ƒ）𝓜₁】で得る。

　　21:　ƒ (…₆Δ,z,A,z,δ…) = (₆Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],δ)　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1], A-1 , z　

　　22:　ƒ (…₆Δ,z,Z,z,δ…) = (₆Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],δ)　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z　

　　23:　ƒ (…₆Δ,z,ζ,z,δ…) = (₆Δ,z,𝐏𝐇[n],z,δ)　

　　　々:　𝐏𝐇[0] = 𝓟_0　

　　　々:　𝐏𝐇[𝑒] = (𝓟_𝑒,𝐏𝐇[𝑒-1],𝓟_𝑒)　

　　　々:　𝓟_ x : P₍ᵪᵀᵒᵖ₋₁₎₊₍₍ₙ₋ₓ₎⊗₍₍ᵪᵀᵒᵖ₋₁₎₋ᵪᴮᵒᵗᵗᵒᵐ₎₎¹　

　▼24:　ƒ (…₆Δ,z,C,z,δ…) = (₆Δ,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],δ)　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] ,【C⟼（ƒ）𝓜】, z　

　　　・(…₆Δ,z,C,z,δ…)をC₀と命名する。

　　　・ƒ[C₀ ; n]の【C⟼（ƒ）𝓜】のCについて、Cから𝓜への写像 ƒ[C ; n]で適用される計算規則が𝐑𝐮𝐥𝐞▼ であれば、そのCをC₁と命名する。

　　　・C₁が命名されいないのであれば、そのCをC₁ᴱᴺᴰと命名する。また、C₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜を𝓜₁ᴱᴺᴰと命名する。

　　　・C₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜₁ᴱᴺᴰが得られたのであれば、C₀におけるƒの像の𝓜を【C₁ᴱᴺᴰ⟼（ƒ）𝓜₁ᴱᴺᴰ】で得る。

　　　・ƒ[Cᵨ ; n]の【C⟼（ƒ）𝓜】のCについて、Cから𝓜への写像 ƒ[C ; n]で適用される計算規則が𝐑𝐮𝐥𝐞▼ であれば、そのCをCᵨ₊₁と命名する。

　　　・C₁以上のCᵨが命名されるのであれば、必ずCᵨ₋₁が命名されている。

　　　・C₁におけるƒの像の𝓜₁が得られたのであれば、C₀におけるƒの像の𝓜を【C₁⟼（ƒ）𝓜₁】で得る。

　　25:　ƒ (…₂Δ,z,z,…z,B,z,δ…) = (₂Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z,B,z,δ)　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₂Δ,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],…z,B,z,δ)　

　　26:　ƒ (…₂Δ,…b,c,z,…z,B,z,δ…) = (₂Δ,…b, ƒ [c ; n],z,…z,B,z,δ)　

　　27:　ƒ (…₂Δ,…b,a,z,…z,B,z,δ…) = (₂Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[n],…z,B,z,δ)　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒] = (₂Δ,…b,a-1,𝐍𝐞𝐬𝐭[𝑒-1],…z,B,z,δ)　

　　28:　ƒ (…₂Δ,…b,c,B,z,δ…) = (₂Δ,…b, ƒ [c ; n],B,z,δ)　

　　29:　ƒ (…₂Δ,…b,a,A,z,δ…) = (₂Δ,…b,a-1,A,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],δ)　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , A-1 , z　

　　30:　ƒ (…₂Δ,…b,a,Z,z,δ…) = (₂Δ,…b,a-1,Z,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],δ)　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z 　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒]= 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] , z　

　　31:　ƒ (…₂Δ,…b,a,ζ,z,δ…) = (₂Δ,…b,a-1,ζ,z,𝐏𝐇[n],z,δ)　

　　　々:　𝐏𝐇[0] = 𝓟_0　

　　　々:　𝐏𝐇[𝑒] = (𝓟_𝑒,𝐏𝐇[𝑒-1],𝓟_𝑒)　

　　　々:　𝓟_ x : P₍ᵪᵀᵒᵖ₋₁₎₊₍₍ₙ₋ₓ₎⊗₍₍ᵪᵀᵒᵖ₋₁₎₋ᵪᴮᵒᵗᵗᵒᵐ₎₎¹　

　▼32:　ƒ (…₂Δ,…b,a,C,z,δ…) = (₂Δ,…b,a-1,C,𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[n],δ)　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[0] = z　

　　　々:　𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒] = 𝐂𝐥𝐮𝐬𝐭[𝑒-1] ,【C⟼（ƒ）𝓜】, z　

　　　・(…₂Δ,…b,a,C,z,δ…)をC₀と命名する。

　　　・ƒ[C₀ ; n]の【C⟼（ƒ）𝓜】のCについて、Cから𝓜への写像 ƒ[C ; n]で適用される計算規則が𝐑𝐮𝐥𝐞▼ であれば、そのCをC₁と命名する。

　　　・C₁が命名されいないのであれば、そのCをC₁ᴱᴺᴰと命名する。また、C₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜を𝓜₁ᴱᴺᴰと命名する。

　　　・C₁ᴱᴺᴰにおけるƒの像の𝓜₁ᴱᴺᴰが得られたのであれば、C₀におけるƒの像の𝓜を【C₁ᴱᴺᴰ⟼（ƒ）𝓜₁ᴱᴺᴰ】で得る。

　　　・ƒ[Cᵨ ; n]の【C⟼（ƒ）𝓜】のCについて、Cから𝓜への写像 ƒ[C ; n]で適用される計算規則が𝐑𝐮𝐥𝐞▼ であれば、そのCをCᵨ₊₁と命名する。

　　　・C₁以上のCᵨが命名されるのであれば、必ずCᵨ₋₁が命名されている。

　　　・C₁におけるƒの像の𝓜₁が得られたのであれば、C₀におけるƒの像の𝓜を【C₁⟼（ƒ）𝓜₁】で得る。

　■■■■■■■■■■■

　■　極限と拡張表記　■

　■■■■■■■■■■■

　・(3,P₍ₙ₊₃₎¹,3)と記述できるみくみく順序数をο_ nとする。

　・(3,Pᵪ¹,3)で到達できない最小のみくみく順序数をο_ωとする。

　　01:　ο_ n = (3,P₍ₙ₊₃₎¹,3)　

　　02:　ƒ [ο_ω ; n +１] =ο_ n　

　・みくみく順序数の「𝐌₂」の表記に、「𝒜∈𝐌₂」であるような「𝒜」の拡張表記「ο_ n」と、「𝐌₂∈ℬ」であるような「ℬ」の拡張表記「ο_ω」を加えた文字列を「Ο」とする。　

　・「𝐌₂」は以下の何れかである。

　　❶　P₂ʷ　{ʷ∠{ʷ ≧１}}

　　❷　𝓒...(Ø)P₂ʷ　{ʷ∠{ʷ ≧１}}

　・「Ο」は以下の何れかである。

　　❶　P₂ʷ　{ʷ∠{ʷ ≧１}}

　　❷　𝓒...(Ø)P₂ʷ　{ʷ∠{ʷ ≧１}}

　　❸　ο_ n

　　❹　ο_ω

　・「ο_ n」と「ο_ω」への自然数の加算を定義する。「ο_ n」と「ο_ω」への加算は、「ω番地数列」ではなく「一般表記」を用いる。また、その表記として「+」を使用するので、ここでは「加算の記号」と「表記の文字」とを区別して、「加算の記号」に「⊕」を用いる。以下、「ο_ n」と「ο_ω」をまとめて「ο_ 𝐗 」と記す。

　　01:　ο_ 𝐗 ⊕ n ＝ο_ 𝐗 + n　

　　02:　ο_ 𝐗 +０〓 ο_ 𝐗 　