巨大数で遊ぼう！ ～Second season～

第６話 ω番地数列の定義

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　■　ω番地数列の定義　■

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　ω番地数列は、「みくみく順序数」の数の要素であり、かつ、「みくみく順序数」の数の要素である「コア数」の項が持ちうる要素である。

　■概要

　自然数を記述する方法として「アラビア数字」による「十進法」が世に広く普及している。これを「一般表記」と以下では呼称する。この「一般表記」において、例えば「最小の自然数」には「0」の記号が充てられている。また「最小の自然数の有限個の和で到達できない最小の自然数」には「1」の記号が充てられている。他にも「グロタンディーク素数」には「57」の記号が充てられていて、挙げればきりがないが、これら無限に存在する「一般表記」の一部の記号について、その支持体からその情報体を分離し、別の支持体に情報体を割り当て、「任意の自然数」を無限通りの方法で記述するのが「ω番地数列」である。例えば「ω番地数列」では「3」や「5」や「7」や「11」などの、「素数に充てられた一般表記の記号」を全て「最小の自然数」に充てる記号として扱う。

　■定義

　「任意のᵪ番目の素数𝒫」と「素数𝒫の１以上の整数乗の合成数」を小さい順に並べた数列を「ᵪ番地数列」と呼ぶ。無限個ある任意の「ᵪ番地数列」の総称が「ω番地数列」である。

　■表記

　任意の素数を以下の様に表記する。

　　・Pᵪ

　　　・「Pᵪ」は「ᵪ番目の素数」を意味し、「ᵪ」は１以上の整数である。

　　　・「１番目の素数」は「２」である。

　　　・「ᵪ番目の素数」は「ᵪ -１番目の素数」よりも大きな最小の素数である。　{ᵪ∠{ᵪ ≧２}} 　

　ω番地数列の任意の数についてを以下の様に表記する。

　　・Pᵪʷ

　　　・「Pᵪʷ」の「ʷ」は「Pᵪのʷ乗」を意味し、「ʷ」は１以上の整数である。

　　　　「ʷ」を「ʰ」と書く場合もあるが「ʷ」と「ʰ」は自在である。

　　　・全ての「Pᵪʷ」は「番地」を持ち、任意の「Pᵪʷ」の「番地」は「ᵪ番地」である。

　■大小関係

　任意の番地の「Pᵪʷ」は、その番地よりも大きな番地の如何なる「Pᵪʷ」よりも小さい。

　　・Pᵪʷ < Pᵪ₊ᵨʰ　

　■加算の定義

　任意のᵪ番地数列の数「Pᵪʷ」による加算を、「自然数」による加算に対応させるため、以下に計算規則を定める。ただし、互いに異なる番地の数の加算は、「みくみく順序数」の構成方法に関わるため、暫定的に「未定義」とする。

　　・Pᵪʷ+Pᵪʰ = Pᵪʷ⁺ʰ⁻¹　

　　🔰計算例

　　・3 + 3 = 3　

　　・9 + 3 = 9 　

　　・9 + 9 = 27　

　　🔰計算例

　　・5 + 3 = 未定義　

　　・25 + 3 = 未定義　

　　・25 + 9 = 未定義　

　■互いに異なる番地の数の加算に関する予想

　　・Pᵪʷ+Pᵪ₊ᵨʰ = Pᵪ₊ᵨʰ

　　・Pᵪ₊ᵨʰ+Pᵪʷ = Pᵪ₊ᵨʰ⊕Pᵪʷ

　■Pᵪʷの特性

　　・任意の番地のPᵪ¹は、その番地の如何なる数に対しても自然数の「０」に等しい。

　　・任意の番地のPᵪ²は、その番地の如何なる数に対しても自然数の「１」に等しい。

　　・任意の番地のPᵪʷよりも大きな最小のPᵪʷは　Pᵪʷ+Pᵪ²　である。

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　■　ω番地数列の例　■

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　　🔰一番地数列　P₁ʷ

　　一番目の素数を使った「２ʷ」を、小さい順に並べた数列である。この一番地数列については、初音ミクの要素を表記に与えるため使用しない。

　　・2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,…∞

　　🔰二番地数列　P₂ʷ

　　二番目の素数を使った「３ʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,…∞

　　🔰三番地数列　P₃ʷ

　　三番目の素数のを使った「５ʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・5,25,125,625,3125,15625,78125,390625,1953125,9765625,…∞

　　🔰四番地数列　P₄ʷ

　　四番目の素数のを使った「７ʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・7,49,343,2401,16807,117649,823543,5764801,40353607,282475249,…∞

　　🔰五番地数列　P₅ʷ

　　五番目の素数のを使った「１１ʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・11,121,1331,14641,161051,1771561,19487171,214358881,2357947691,25937424601,…∞

　　🔰ᵪ番地数列　Pᵪʷ

　　ᵪ番目の素数のを使った「Pᵪʷ」を小さい順に並べた数列である。

　　・Pᵪ¹,Pᵪ²,Pᵪ³,Pᵪ⁴,Pᵪ⁵,Pᵪ⁶,Pᵪ⁷,Pᵪ⁸,Pᵪ⁹,Pᵪ¹⁰,…∞