テストで使ってみてほしい因数分解

第3話 理屈の説明

今回は説明。自己満足はできても役には立たない。多分。

今回はすぐに説明に入ります。

第１話、第２話で使った式で説明します。

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）+ x + 9y - 3　=　( x + 2y - 1 )( 2x - 3y + 3 )

でした。

ここで、因数分解の答え

( x + 2y - 1 )( 2x - 3y + 3 )　・・・①

について、定数項に t を掛けます。

( x + 2y - 1 t )( 2x - 3y + 3t )・・・②

となります。あえて１を残しました。

①、②を展開したものを比べると、

( x + 2y - 1 )( 2x - 3y + 3 )　=　2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）+ x + 9y - 3　

( x + 2y - 1t )( 2x - 3y + 3t )　=　2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）+ xt + 9yt - 3t　（2）　

ここまでで、

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）+ x + 9y - 3　・・・③

を因数分解する代わりに、

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）+ xt + 9yt - 3t　（2）　・・・④

を因数分解してから t を取り除けば

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）+ x + 9y - 3　

を因数分解できることが分かります。

つまり、④を因数分解→②が求められる→ t を取り除く→①

という流れです。

ここからが本題です。

④を t についての２次式とみなして因数分解します。

t の係数が負なのでちょっといやですね。

④の式は

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）+ xt + 9yt - 3t　（2）

= - 3t　（2）+ ( x + 9y ) t + ( 2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）)

と変形できます。

t についての２次式とみなしたときの定数項は

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）

です。これを因数分解すると、

2ｘ　（2）- xy - 6y　（2）　=　( x + 2y )( 2 x - 3y )

となります。つまり、④の式は、

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）+ xt + 9yt - 3t　（2）

= - 3t　（2）+ ( x + 9y ) t + ( x + 2y )( 2 x - 3y )

と変形できます。

t の２次式とみなしてたすき掛けをすると、

たすき掛けの　X　の右側のほうに

x + 2y　と　2 x - 3y　を書くことになります。・・・・・・・・・⑤

そして、X　の左側は　- 3t　（2）の係数　- 3　から、

1　と　- 3　　または　　- 1　と　3　を書くことになります。

⑤ から、④ の因数分解のかっこの中には　x + 2y　と　2 x - 3y　があることが分ります。

つまり、③の因数分解のかっこの中にも　x + 2y　と　2 x - 3y　があることが分かるのです。

あと少しです。

同じことの繰り返しです。

今度は、③の式を y についての２次式とみなします。

- 6y　（2）+ ( x + 9 ) y + ( 2ｘ　（2）+ x - 3 )

と変形されるので、

2ｘ　（2）+ x - 3

を因数分解すれば、③の因数分解の材料が得られます。

2ｘ　（2）+ x - 3　=　( x - 1 )( 2x + 3 )

と因数分解できるので、

x - 1　と　2x + 3　が③の因数分解のかっこの中にあることが分かります。

以上で③の式

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）+ x + 9y - 3

を因数分解するときは、

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）　と　2ｘ　（2）+ x - 3

を因数分解すればかっこの中身が分かることがわかりました。

t についての２次式、x についての２次式と見た時の定数項である、

2ｘ　（2）+ xy - 6y　（2）　と　2ｘ　（2）+ x - 3

を因数分解すれば答えの因数分解の(　)の中の組み合わせが

２種類わかるので、答えがわかってしまうという事です。

この手の問題は、ｘ　（2）の係数が正の数なので、

この２つの２次式を因数分解するのがおススメです。

( y の２次式を抜き出してもいいわけです。)

役に立たない説明だけで終わってしまうのも何なんで、

ちょっとおまけ。

普通の２次式をたすきがけするとき、組み合わせがなかなか見つけられない人がいる。

少しはタシになるかもしれない豆知識を、

数学の得意な人はすでに意識してたすき掛けしているはずですが…

奇数×奇数＝奇数、

２つの整数の和が奇数なのは、奇数＋偶数

真ん中の係数が奇数か偶数か（ 6ｘ　（2）+ 17x +12　なら　17で奇数 ）

の３つに気を付けるのです

かっこの中の問題の場合、真ん中が奇数なのでたすき掛けで、

奇数と偶数を作ります。

そして、奇数を作るためには奇数×奇数です。

つまり、たすき掛けの X の掛け合わせる組み合わせの片方は奇数同士なのです。

これがわかれば、定数項の 12を 2 × 6 には絶対に分けないのです。

奇数同士を掛けなければいけないので、

組み合わせは結構減ります。

というわけで、おしまいです。

ありがとうございました。

高校生で読んでくれた方、もしもあなたが理学部の数学科を目指しているなら、

図書館で線形代数学か位相空間論(集合論)を少し読んでみましょう

嫌になった人はやめた方がいいです。

高校の先生になるなら仕方がないかもしれませんが、教育学部の数学科で十分です。

むしろ、教育学部にするべきだと思います。

数学なんて勉強している場合ではないのです。教え方を学ばねば！

あと念のために、位相空間や集合論の本を探すときに間違って数学基礎論という本は読まないように注意してください。

数学基礎論は初心者が学ぶべき基本的なことが書かれた本ではありません。

数学という学問の土台となる理論という意味です。逆に難しいです。

私はわかりません。

あれ？

挨拶した後に長々と…

こんどこそ。

ありがとうございました。