彼らは数学しか勉強できない

数学の計算問題、論理クイズ23問

　今回は番外編として数学の問題を23問用意しました。23にしたのは『ヒルベルトの23の問題』にちなんだものです。算数の知識で解ける面白い問題もあります。最後は東京大学の入試問題を改題しました。難易度は高めです。

　問題1　生徒の人数

　生徒が一列に並んでいる。ある生徒は前から数えて15番目、後ろから数えて14番目にいる。生徒の人数を求めよ。

　答え　

　28人

　問題2　同じペアを作る

　星座と血液型が同じペアを確実に1組作りたい。何人集めれば可能か。最も少ない場合で答えよ。

　答え　

　49人

　問題3　時間の変換

　0.2日は何時間何分か。

　答え　

　4時間48分

　問題4　2人で協力したら

　Aは宿題を終わらせるのに4日、Bは6日かかる。

　2人で協力すると何日で終わるか。

　答え

　2.4日（2日と9時間36分）

　問題5　10代の割合

　ある町の男女比率は男性が60％で女性は40％である。

　男性のうち10代は20％、女性は30％だった。

　10代の割合は町全体の何％か。

　答え

　24％

　問題6　歪んだサイコロ

　歪んだサイコロが1個ある。6の目が出る確率は、1から5の目が出る確率の2倍である。

　このとき、6の目が出る確率を求めよ。ただし、1から5の目が出る確率はすべて同じとする。

　答え

　2/7（約29％）

　問題7　曜日を求める。

　日曜日の100日後の3週間前の5か月前の7年後は何曜日か。ただし、閏年は考えないものとする。

　答え

　土曜日

　問題8　反論するには

　次の命題の否定を述べよ。

「すべての学生は勉強をしていない」

　答え

　勉強をしている学生が少なくとも1人はいる

　問題9　魔法のバット

　3本のバットがあり、そのうち1本は必ずホームランが打てる。

　1人の選手がバットを1本取った。残った2本のうち1本は普通のバットである。

　選手はバットを変更することができる。確率を考慮したとき、選手はバットを変更するべきか。

　答え

　変更するべき

　問題10　動画の総再生時間

　10分の動画がある。

　動画を2倍速にして、元の動画につなぎ合わせる。

　次は元の動画4倍速にして、つなぎ合わせた動画につなぎ合わせる。

　同じ作業を8倍速、16倍速、32倍速……と速度を2倍にして延々に進めていくと、動画の総再生時間は何分に近づくか求めよ。

　答え

　20分

　問題11　少しいじわるな問題

　？に当てはまる数字を答えよ。

　1＝34　

　2＝58　

　3＝56　

　4＝60 　

　5＝42　

　6＝？　

　答え

　52

　問題12　正しくない理由

　次の2つの説明はどちらも正しくない。なぜか。

　(1)西暦2000年は21世紀かつ閏年である。

　(2)西暦2100年は22世紀または閏年である。

　答え

　(1)西暦2000年は20世紀だから

　(2)西暦2100年は22世紀でも閏年でもないから

　問題13 　対数を使わなくても計算は可能

　3（　48）は何桁の数か。　

　答え

　23桁

　問題14　未来に行ける確率

　目の前に3つのドアA、B、Cがある。

　1つは未来、もう1つは過去の世界につながっている。最後のドアは普通のドアである。

　彼はAのドアを選んだ。未来へ行きたいが、できるだけ確率を上げたい。

　ドアに近くには見張り番がおり、どのドアが未来行きか知っている。

　質問は1回だけ許されているが、直接答えを訊くことはできない。

「普通のドアはBとCのどちらですか」

「Bです」

　この時点で彼が未来に行ける確率を求めよ。

　答え

　1/4（25％）

　問題15　ある意味ひっかけ問題

　100！は100で何回割りきれるか。

　答え

　12回

　問題16　最小の組

　連続する3つの自然数がある。

　最も小さい数は3の倍数、次が5の倍数、最も大きい数は7の倍数である。

　その中で最小の組を求めよ。

　答え

　54、55、56

　問題17　範囲を広げて因数分解

　整数同士の比で表せる数を有理数、表せない数を無理数。有理数と無理数を合わせたものを実数という。

　x（　2）－6x＋4を実数の範囲で因数分解せよ。

　答え

　(x－3＋√5)(x－3－√5)

　問題18　素数ずくめの問題

　彼は彼女にバレンタインのお返しを、ホワイトデーより早く渡した。お返しを渡した日は素数だった。

　彼女が彼にチョコを渡したのは、お返しを貰う1ヶ月前で、渡した日は素数。その月の最終日から渡した日を引いた数も素数になる。引いてできた素数と、彼女の年齢は双子素数である。

　彼が彼女にお返しを渡した日と、彼女が彼にチョコを渡した日はそれぞれ何月何日か。また、彼女の年齢はいくつか。

　なお、双子素数は3と5、5と7など、差が2の素数のペアを指す。

　答え

　彼がお返しを渡した日　3月13日

　彼女がチョコを渡した日　2月11日

　彼女の年齢　19歳

　問題19　計算力より論理力が必要

　3人で次のゲームを行う。

　1から30まで数字が書かれた30枚のカードを全員に10枚ずつ配る。

　書かれた数字の積を求め、積の最も大きい人を勝ちとする。

　このゲームで全員の積が等しくなることはあるか。ならないときは理由を簡潔に述べよ。

　答え

　1から30までに1つしかない素因数（17、23、29など）があるので、全員の積が等しくなることはない

　問題20　生年月日のパラドックス

　とある会場に平成生まれの人が365人いる。

　双子を除いたとき、生年月日の同じ人が少なくとも2人いる確率はおよそ何％か。次の5つから選んで答えよ。

　(1)11％

　(2)33％

　(3)55％

　(4)77％

　(5)99％

　答え　

　(5)の99％

　問題21　整数の場合より難しい

　n（　3）＋n（　2）＋n＋1が、n（　2）＋3n＋5で割りきれるようなnをすべて求めよ。ただし、nは有理数とする。

　答え

　－3、2、－1、－4/3

　問題22　図形パズルに近い難問

　以下の2つのグループは、ある法則によってふり分けられている。

　グループ1　SNS、USJ、CNN

　グループ2　fx、カメ、十七

　では、「アニソン」と同じグループに入るのは次のうちどれか。

　(1)りんご

　(2)ニラ

　(3)アジ

　(4)いわし

　(5)さば

　答え

　(2)のニラ　

　問題23　東京大学の数学入試

　3以上9999以下の整数aで、a（　3）－aが10000で割りきれる最も大きい奇数と偶数をそれぞれ求めよ（2005年度・改題）

　答え　

　9375と9376

　あとがき

　問題22と23は初見で解くのはかなり難しいと思います。問題20は電卓を使っても相当な時間がかかるので選択式にしました。問題を作るのって大変……。