彼らは数学しか勉強できない

算数も意外と侮れない（灘中入試編）

　数学研究部の部室。成宮は難関大学の数学入試、俺は数学オリンピック。そして、愛華はなんと中学の算数入試に取り組んでいた。

「なんで中学入試？」

「いや、『難関』がつく入試で私が解けそうなのが中学入試だったから……でも、ホントに難しいよ。これとか」

　愛華はそう言って文庫本を開いた。どうやら問題集のようだ。　

　15/4＝3.75、15/125＝0.12のように、15をある整数で割るとき、ちょうど小数第2位を求めたところで割り算が終わる。このような整数は4と125を含めて□個ある（2000年度）。

「これ、どこの中学？」

「灘中学の算数」

　名門だな。算数とはいえ、小学生が解くのは容易ではないだろう。

「愛華、お前は解けたのか」

「それがまだなんだよね」

　いくら難関中学でも高校生が算数入試解けないのはマズいだろう。俺は問題をもう一度見てあることに気付いた。

「この問題は『ちょうど小数第2位を求めたところで割り算が終わる』をどう言い換えるかがポイントだ」

「言い換える？」

　さて、どうやって教えよう。算数だから難しい知識はまったく必要ないのだが、多少の発想力は要る。

「愛華、0.01/0.02と0.01/0.03の和を求めたいとき、どうやって計算する？」

「和？　えーと、分母と分子が小数だから、分母と分子に100を掛けて1/2＋1/3にして、それから通分する」

「だな。この問題も同じように考えれば突破口が見いだせる」

「え、じゃあ、分母と分子に100を掛ければいいの？」

　俺は答えなかった。算数ぐらいは自力で解いてもらわないとな。

　愛華は考える人のポーズを取り、熟考し続ける。そして、パチンと指を鳴らした。

「分かった！　これ、1500の約数を求めればいいんだ！　両辺を100倍したら1500/4＝375、1500/125＝12で、375と12は両方とも1500の約数」

　やっと気づいたか。だが、それではまだ不十分。

　愛華はひたすらシャープペンを走らせる。体感的に十五分ほど経ったところで、彼女は机に突っ伏した。

「やっと終わった～。分かったよ和人、答えは6個！」

　そう言ってから愛華はノートを俺に見せた。ページにはぎっしり書き連ねられた式と、大きく6つの数字が書かれていた。

　4、12、20、60、100、125

「どうやって求めたんだ」

「しらみつぶしで計算した。多分合ってると思う」

　しらみつぶしか。数学的に解くなら、まず1500を素因数分解して、2（　2）・3・5（　3）

　小数第2位を求めたところで割り算が終わるんだから、分子を100倍したとき、商は1の位が0でない1桁から3桁の整数になる。

　1の位が0になるのは素因数に2と5が含まれているときだから、2（　2）と5（　3）をそれぞれ外して考える。

　2（　2）・3の約数は、3・2＝6個。4より小さい1、2、3を除いて3個。

　3・5（　3）の約数は、2・4＝8個。答えの範囲外である1、3を除いて6個。

　2（　2）・5（　3）は、1、2、500が答えの範囲外。

　よって、題意を満たす整数は、3＋6－3＝6個。

「なかなか手強かったぁ。……あと二問ぐらいやってみようかな」

「また灘か？」

「うん。次はいける」

　異なる4つの整数を小さい方から順にならべ、となり合った2数の和を求めると、それぞれ28、32、59であった。4つの整数の中で最も大きいのは□である（1997年度）。

　さっきと比べると幾分優しくなったな。知識だけで解ける問題だ。

　愛華はスムーズに解答を書き記していく。五分もかからないうちにシャープペンを置いた。

　4つの整数をそれぞれA、B、C、Dと置くと、整数の関係はA+B=28、B+C＝32、C+D=59と表せる。

　B+C－A+B＝4だから、C－A＝4

　C+D－B+C＝27だから、D－B＝27

　AとCの差が4だから、AとBの差は1以上3以下。

　和が28で差が1または3になる整数の組はないので、A=13、B=15が決まる。

　B+C＝15＋C＝32

　　　　　C＝17

　C+D=17＋D＝59

　　　　　D＝42

　したがって、4つの整数の中で最も大きいのは42である。

「これどう？　模範解答にピッタリじゃない？」

「だから」の多用が気になるけど、比較的見やすいし悪くはないかな。

「二人とも盛り上がってるね」　

　後ろから成宮の声がした。屈託なく笑い、こちらを見ている。

「中学入試をやってるんだってね。少し見せてくれるかい」

　愛華は成宮に問題集を渡した。成宮はページをいくつかめくってから言った。

「僕からも問題を出していいかな。とは言っても、少し改題しただけなんだけどね」

　7けたの整数5ABCD87が9999の倍数となるとき、4けたの整数ABCDは□である（2003年度・改題）。

「9999の倍数……」

「お前、ちょっとやりすぎだろ」

「そんなことないさ。確かに難易度は上がったけど、小学生でも解こうと思えば解ける」

　俺は嘆息した。これは俺が解くか。

　9999の倍数ということは、5ABCD87は9の倍数。分かっている各位の和は、5＋8＋7＝20

　各位の和が9の倍数ならば、その数は9で割りきれる。3の倍数の判定法と同じだ。

　ABCDの各位の和は4から36で、候補は7、16、25、34の4通り。……なんかこれ時間かかりそうだな。合同式を使いたいところだが算数の問題だ。今回は我慢しよう。

　5ABCD87を、今、分かっている5000000と87に分けて9999で割った余りを求める。

　5000000を9999で割ると余りは500　87はそのまま。

　和が587だから、5000087を9999で割った余りは587だと分かる。

　9999－587＝9412より、ABCD00を9999で割った余りは9412。

　次にA、B、C、Dの係数をそれぞれ1として、9999で割った余りを計算。

　100000は余り10、10000は余り1、1000と100はそのまま。

　余りの大きい順に並べると、CDABとなる。これを9412にそのまま適用させる。

　C＝9、D＝4、A＝1、B＝2より、4けたの整数ABCDは1294　念のため検算。

　5129487÷9999＝513

　後半がやや急ぎ足になってしまった。なるべく分かりやすいように説明したつもりだが、小学生がこの解答を見て理解できるだろうか。式こそ使っていないが、この解法の原理は合同式と同じだ。

「文句言っときながらあっさり解いたね。僕もやってみようかな」

　ずっと証明やってきたから、たまにはこういう問題に取り組むのもいいかもしれない。しかしまあ、こんな問題入試で出されたら小学生涙目だな。