彼らは数学しか勉強できない

阪大入試と自然数nの存在

　放課後の部室。成宮がノートを見ながら腕を組んでいた。常に明るい表情も今は険しい。

「成宮、何で悩んでんだ」

「阪大の入試問題を解いているんだけど、なかなか答えまでたどり着けなくてね」

　今回は大阪大学か。成宮はノートに記されている問題文を指差した。

　4個の整数n＋1、n（　3）＋3、n（　5）＋5、n（　7）＋7がすべて素数となるような自然数nは存在するか。するならば、具体例に1つを挙げよ。存在しないなら、それを示せ（2013年度）。

「これって証明問題？」

　後ろから愛華が声を掛けてきた。広義で言えばそうだろうな。

「存在しないのは確かなんだけど、どうにも示せないんだ」

「え、なんで分かるの？」

「計算量を考えればすぐに分かるさ。n＋1とn（　3）＋3はまだいいとして、n（　5）＋5とn（　7）＋7の値はすぐに出てこない。ましてや、入試は制限時間があるんだ。単純に題意を示すnの値を求める問題を出すとは思えない」

　妥当な考えだ。問題はそれをどう示すか。

「それで成宮、お前はどう考えたんだ」

「背理法……いや、消去法だね。仮にnが存在するとしたらnは偶数。だからnに0、2、6、4、8を代入して、全部題意を満たさないことを示そうとしたんだけど、6で躓いた」

　成宮が言った後、愛華はそっと手を挙げて訊いた。

「少し説明もらえる？　私、よく分からなかった」

「じゃあ、最初から改めて説明しようか。もしnが奇数だとしたら、n＋1は偶数になる。より正確に言うと、4個の整数がすべて偶数になるんだ。奇数は何乗しても奇数だからね」

　nが存在するとして、nが奇数の場合。n＋1は偶数。

　奇数は何乗しても奇数で、奇数と奇数の和は偶数だから、n（　3）＋3、n（　5）＋5、n（　7）＋7はすべて偶数になる。

「もう少し説明すると、nは3、5、7の倍数ではない。3の倍数だとn（　3）＋3が素数にならないからね。5と7も同様のことが言える」

「nが偶数になるのは分かったけど。nに0、2、4、6、8を代入するっていうのは？」

「下一桁の値を計算して合成数になることを示そうと思ったんだ」

　n＝0のとき、n＋1＝1で、1は素数ではない。

　n＝2のとき、n＋1＝3、n（　3）＋3＝11、n（　5）＋5＝37、n（　7）＋7＝135で、n（　7）＋7の下一桁が5だから合成数。

　n＝4のとき、n＋1＝5、n（　3）＋3＝67で素数だが、n（　5）＋5＝1029で合成数。また、n＝14だとn＋1＝15で合成数。24、34、それ以降も同様。

　n＝8のとき、n（　3）＋3の下一桁が5になるので合成数。

「6は何回掛けても下一桁は6だから、4個の整数の下一桁はn＋1が7、n（　3）＋3は9、n（　5）＋5は1、n（　7）＋7は3だ。でも、これだと題意を満たすnが存在しないことは示せない」　

「存在するとしたら、下一桁が6の自然数……代入して求めるのは時間がかかりすぎるね」

「そうだろう？　だから、題意を満たすnは存在しないと考えるのが自然だよ」

　そう言った後、成宮はため息をついた。考え方は悪くないが効率的ではない。

「……成宮、お前剰余は考えなかったのか」

「剰余？」

「題意を満たす自然数nが存在しないということは、nがどんな値であっても、4個の整数のうち、少なくとも1つは合成数だと言うことだ」

「そんなの分かってるよ」

「お前は5の倍数にこだわっていたが、この問題を解くのなら3の倍数で考えた方がいい」

「3の倍数？」

「ああ。今から説明する」

　ある数を3で割った剰余（余り）は0、1、2の3通り。これを整数mを用いて、それぞれ3m、3m＋1、3m＋2とする。

　n＝3mのときn（　3）＋3が合成数になるので省略。

「n＝3m＋1のとき、1は何乗しても1だから、n、n（　3）、n（　5）、n（　7）を3で割った余りはすべて1だ。これはいいな？」

　成宮は頷いた。横にいる愛華も頷く。

「4個の整数の余りはn＋1は2、n（　3）＋3は合計が4だから3で割って1、n（　5）＋5は合計が6だから3で割りきれる。n（　7）＋7は合計が8で3で割って2となる」

　n＝3m＋2は計算を楽にするため、余りを－1として考える。

「n＝3m＋2の場合、n＋1は0、n（　3）＋3は(－1)（　3）＋3＝2、n（　5）＋5は(－1)（　5）＋5＝4だから3で割って1、n（　7）＋7は(－1)（　7）＋7＝6だから3で割りきれる。まとめると」

n（　3）＋3　3の倍数で割りきれる。

n（　5）＋5　3m＋1の形をした自然数で割りきれる。

n＋1、n（　7）＋7　3m＋2の形をした自然数で割りきれる。

「だからnがどんな値であろうと、4個のうち少なくとも1つは3で割りきれる。よって、題意を満たす自然数nは存在しない」

　合同式を使えばもっと早く示せるんだけど、高校指導要領に入ってないからな。今説明した内容を合同式で表すと

n＋1≡1(mod 3)

n（　3）＋3≡0(mod 3)

n（　5）＋5≡2(mod 3)

n（　7）＋7≡2(mod 3)

n＝3m＋1のとき

n＋1≡2(mod 3)

n（　3）＋3≡1(mod 3)

n（　5）＋5≡0(mod 3)

n（　7）＋7≡2(mod 3)

n＝3m＋2のとき

n＋1≡0(mod 3)

n（　3）＋3≡2(mod 3)

n（　5）＋5≡2(mod 3)

n（　7）＋7≡0(mod 3)

　パッと見だと難しく感じるかもしれないが、割り算ができれば中学生でも理解できる、と個人的には思う。

　説明を終えた後、成宮は肩を落として言った。

「整数問題は得意だと自負してたんだけどなぁ。自分の力不足を思い知らされたよ」

「あと一歩まで行ってたんだし、そこまで落ち込まなくてもいいだろ」

　俺がそう言うと、成宮は明るい表情で頷いた。