彼らは数学しか勉強できない

階乗の探求

　完全数の話が終わり、成宮がノートを閉じようとしたところで、愛華がある書き込みを見つけた。

2（　　150）、3（　　100）、70！

「成宮君、これ何？」

「今日、安藤に出す予定だった大小比較の問題だよ。検算が間に合わなくて断念した」

「70！が厄介だね」

「そうなんだ。2（　　150）と3（　　100）の比較は簡単だけど」

　二人が話している間、俺は2（　　150）と3（　　100）の大小を比較することにした。

　150と100の最大公約数は50だから、2（　　150）＝(2（　3）)（　50）、3（　　100）＝(3（　2）)（　50）

　2（　3）＜3（　2）より、2（　　150）＜3（　　100）

　紙を用意するまでもない。あとは’70！だが、確かに厄介だ。

「成宮君、一番大きい数どれ？」

「その検算が済んでないんだよ。適当に数字を決めたからね」

「問題を作るときって、最初に答えを決めるんじゃないの？」

「答えが分かっている状態で問題を作るのは面白味がない。だから整数の問題を作るときなんかは、多項式の係数を適当に決めて自分で解くんだ。値が大きかったときは、筆算で計算できる範囲で係数の値を調整する」

「自分で作った問題を自分で解く……」

　出題者が答えを知らない状態で問題を作る。なかなか面白い試みだな。

「だから僕もどれが一番大きいか分からないんだ。安藤、分かる？」

「70！だ。少し手間取った」

「どうやって計算したの？」

「素因数の数を比較した」

　愛華は首を傾げた。この反応を何度見たことか。俺は2（　　150）＜3（　　100）の説明をした後に言った。

「あとは70！と3（　　100）の比較だが、3（　　100）は3が100個あるってことだから、70！に3以上の約数が100個以上あることを示せばいい」

「100個以上……ええと、3の個数は70割る3で……23個？」

「いや、70！の約数には9の倍数と27の倍数もあるから、3の個数は23個より多い」

　3の倍数は3、6、9……63、66．69まで23個。

　9の倍数は9、18、27、36、45、54、63の7個。

　27の倍数は27と54の2個。

　よって、3の個数は[70/3]＋[70/9]＋[70/27]＝23＋7＋2＝32個。

「またガウス記号」

「便利なツールは積極的に使う。2を飛ばしてしまったが、2の個数は64の倍数まで調べる必要がある」

　70/2＋[70/4]＋[70/8]＋[70/16]＋[70/32]＋[70/64]＝35＋17＋8＋4＋2＋1＝67

「70！は2が67個もあるんだ。でも、3より小さいよ」

「2（　67 ）＝2・4（　33）とすれば、4が33個で3より大きくなる。安藤、考え方はこれで合ってる？」

「合ってる」

　5の個数は70/5＋[70/25]＝14＋2＝16個。7の個数は70/7＋[70/49]＝10＋1＝11個。

「この時点で3以上の約数は32＋33＋16＋11＝92個。

　11の個数は[70/11]＝6 個、13の個数は[70/13]＝5個。これで3以上の約数が103個になった。

「これで70！が最も大きい数であることが示せた」

　まあ、3（　2）＝9だから、11で止めてもよかったんけどな。

　一応筆算で計算したが、この程度であれば関数電卓で概算値が求められる。Webの電卓で計算すると

　2（　150）は1.4272477e+45

　3（　100）は5.1537752e+47

　70！は1.197857e+100

　と表示された。これはE表記でeは指数を意味するexponentの略。決してerrorではない。

　指数表記だとそれぞれ1.4272477・10（　45）、5.1537752・10（　47）、1.197857・10（　　100）となる。結果だけ見ると70！がダントツで大きいな。

「応用すれば0の個数も数えられるね」

「どういうこと？」

「階乗は値が大きくなるほど、後ろに並ぶ0の個数も増える」と成宮。

　10！＝3628800

　20！＝2432902008176640000

　30！＝265252859812191058636308480000000

「なんでか分かる？」

　愛華は深く考え込んでいえが、結局、肩を竦（すく）めた。

「2と5の個数が増えたからだよ。100を素因数分解すると2（　2）・5（　2）で1000は2（　3）・5（　3）だ」

「2と5が1ずつ増えると、後ろの0が1つ増えるのね」

「その通り」

　2の個数＞5の個数だから、0が並ぶ個数を調べたいとき、5の個数だけ計算すればいい。だから100！は

　100/5＋100/25＝20＋4＝24個。

「100！は後ろに0が24個も並ぶんだ。1000！や10000！だったら0の個数も相当増えるんだろうね」

「なんなら計算してみる？」

　成宮はそう言ってスマホを取り出した。ノートは使わないんだな。

　1000！

　1000/5＋1000/25＋1000/125＋[1000/625]＝200＋40＋8＋1＝249個。

　10000！

　10000/5＋10000/25＋10000/125＋10000/625＋[10000/3125]＝2000＋400＋80＋16＋3＝2499個。

「これ規則性があるっぽいね」

「ある。nを2以上の整数として、10n！に0が並ぶ個数を求める一般式は25・10（　　n－2）－1」

「じゃあ、1億の階乗は24999999個も0が並ぶの？　やばっ」

　ちなみに、階乗のおおよその値はスターリングの公式、n！＝√2πn(n/e)（　n）で求められる。eは自然対数の底で、おおよその値は2.718だ。1000！にまでなると電卓では扱えないが、桁数を求めることは可能だ。

　[1/2・log(10)2・π・1000＋1000・log(10)(1000/e)]＝2567

　つまり、1000！は2568桁で後ろに0が249個並んでいるということになる。10%近くが0で埋め尽くされているのか。すごいな階乗。