徹夜で数学

（2）解答

　例のごとく紙に書き表した方が圧倒的に見やすくなります。ご了承ください...

　1/2に収束することを示すために

lim |a(n) - 1/2| = 0

n⇾∞　

を示して

lim a(n) =1/2

n⇾∞　

これでゴールです。この絶対値の使い方を知ったときは驚きましたね。0に収束するものと|絶対値|の相性は抜群です。

　それと、ちょっとだけひねった数学的帰納法の使い方が登場します。

[解答]

数学的帰納法を用いて

0 ＜a(n)≦1/2　を示す。

n=1のとき、条件から

0 ＜a(1)≦1/2

漸化式より

a(n+1) = -2a(n)² + 2a(n)

= -2(a(n)² - a(n))

= -2(a(n)-1/2)² + 1/2

〔平方完成をし、ここから

　a(n+1)は、a(n)<1/2で

　単調増加するということが分かる〕

0≦a(n)＜1/2とすると

0≦a(n+1)＜1/2が成り立つので

0 ＜a(n)≦1/2 が示された。

〔a(n)を帰納法を使う範囲まで絞りこむ〕

〔1/2まで単調増加するので

　端と端(0と1/2)を代入すると

　左辺の最大最小もわかる〕

漸化式から

a(n+1) = 2a(n) - 2a(n)²

a(n+1) - a(n)

= a(n) - 2a(n)²

= a(n)(1-2a(n))

0 ＜a(n)≦1/2 より〔さっき示した〕

a(n)(1-2a(n))≧0

よって

a(n+1) -a(n)≧a(n)(1-2a(n))≧0

a(n+1) -a(n)≧0

したがって

a(n)≦a(n+1)が示された。

さらに、平方完成した式から

a(n+1) -1/2 = -2(a(n)-1/2)²　

〔1/2を左辺に移行しただけ〕

a(n+1) -1/2 = (-2a(n)+1)(a(n) - 1/2)

〔両辺にa( ) - 1/2という形をつくるため

　二乗の片方に-2を掛けた〕

a(n)≦a(n+1)より〔さっき示した〕

a(1)≦a(n) であるから

-2a(1)≧-2a(n)

⇕

1 - 2a(n) ≦ 1- 2a(1)

よって

| a(n+1) -1/2 | = (1 - 2a(n))|a(n) - 1/2|

≦(1 - 2a(1))|a(n) - 1/2)|

〔最後に示したいのは

　a(n) - 1/2が0に収束することであり

　絶対値をつけて正負を

　考えなくてもいいようにした〕

⇕

|a(n+1) -1/2 | ≦ (1 - 2a(1)) |a(n) - 1/2|

繰り返し用いると、

　 | a(n) -1/2|

≦(1 - 2a(1)) | a(n-1) -1/2|

≦(1 - 2a(1))²| a(n-2) -1/2|

≦(1 - 2a(1))³| a(n-3) -1/2|

・

・

・

≦(1 - 2a(1))^(n-1) | a(1) -1/2|

⇕

0≦|a(n) -1/2| ≦ (1 - 2a(1))^(n-1) | a(1) - 1/2|〔絶対値は0以上〕

0 ＜a(1)≦1/2より

-1 <a(1) - 1/2＜ 1であるから

n→∞のとき

(1 - 2a(1))^(n-1)は0に収束するため、

右辺は0に収束する。

〔絶対値が1未満の実数を無限乗して

　右辺を0に収束させた〕

したがってはさみうちの原理より

n→∞のとき、|a(n) -1/2|→0

よって

lim(n→∞)a(n) =1/2

[終]

　今回のように、式変形した後n=kが成り立つ仮定をするという帰納法の使い方はけっこうスマートで好きです。