この時代からというか、奈良の鹿は奈良時代までさかのぼります。
と、いっても平城京が鹿だらけだったわけではなく、鹿を保護したのは春日大社や興福寺で、その近辺で鹿は神鹿として保護され繁殖し、そのあたりが現在の奈良市の市街地になっているということです。
現代でもさすがに近鉄やJRの奈良駅周辺や西大寺とかには鹿はいません。