数学的文学表現（仮）

位相構造が弱まるとは

　どういうものが数学的文学表現なのかを説明しましょう．私が最も気に入っており，なおかつ傑作だと考えているのは『aRiSA』にも出てくる

> こうして，二人の間の位相構造は徐々に弱まっていった．

です．普通の人だったらまったくもって意味が分からない文だったと思います．これは大学の数学科の2年生で学ぶであろう「位相空間論」で登場する位相（topology）という概念に由来します（物理学にも位相（phase）という言葉は出てきますが別の概念です．よくは分かりませんが，人気アニメ『エヴァンゲリオン』のものとも違うと思います）．

　「二人の間の位相構造が弱まる」ということを簡単に言い換えれば，「二人はより仲良くなった」ってだけです（だったら最初っからそう書けよって話ですが）．

　ではなぜそういう意味になるのかを説明します．数学アレルギーの方には難しいかもしれませんが，新たに見識を深めるという意味でもしかしたら参考になるかもしれません．

　高校1年生では集合を勉強します．例えば

　　　A = {りんご，みかん，ぶどう｝

は，りんごとみかんとぶどうで構成された集合を表します．集合を構成しているメンバーのことを要素といいます（ちなみに大学では基本的に元（げん）と呼びます）．

　　　a ∈ A

は，a が集合 A の要素であることを表します．例えば

　　　りんご ∈ A

です．一方で，

　　　a ∉ A

は，a が集合 A の要素でないことを表します．例えば

　　　すいか ∉ A

です．また，A を人類全体の集合，B を生物全体の集合とすると A は B に含まれます．このことを

　　　A ⊂ B

と表します．言葉では，「a ∈ A」を「a は A に含まれる」，「A ⊂ B」を「A は B に含まれる」と読むことがあるため，∈も⊂も同じ記号だと勘違いしている人がたまに見受けられますが，∈は要素と集合の包含関係を，⊂は集合と集合の包含関係を表す記号なので

　　　要素 ∈ 集合

　　　集合 ⊂ 集合

という形式になるため，根本的に違う記号です．

　いきなり数式が出てきて戸惑った方も多いと思います．この記事で使う記号はこれだけですのでご理解ください．

　そもそも位相構造とはなにかというと，集合 X 内の一つ一つの要素同士がくっ付いているとか離れているなど，要素間の距離（のような）概念を定式化したものです．そして，位相構造の入った集合 X のことを位相空間と呼ぶわけです．距離（のような）概念とはいっても物理的な距離とは限りません．考え方によっては様々な距離（のような）概念があります．例えば，ある学校の36人編成のクラスを想像してください．一人一人には勿論名前がありますが，便宜上生徒を出席番号で呼ぶことにします．クラスを X とすれば

　　　X =｛1, 2, 3, ..., 36｝

と表すことができます．さて，彼らは教室に窓際から番号順に

　　　窓　1 7 13 19 25 31

　　　窓　2 8 14 20 26 32

　　　窓　3 9 15 21 27 33

　　　窓　4 10 16 22 28 34

　　　窓　5 11 17 23 29 35

　　　窓　6 12 18 24 30 36

と座っているものとします．1 と 7 は隣同士だから物理的な距離が小さいので近いと考えることはできますが，物理的でない距離（のような）概念も考えてみましょう．例えば，

　　　A = 数学が80点以上の生徒全体の集合

　　　B = 数学が60点以上の生徒全体の集合

　　　C = 数学が40点以上の生徒全体の集合

　　　D = 数学が20点以上の生徒全体の集合

　　　E = 数学が0点以上の生徒全体の集合

　　　F = 諸事情で数学を受けていない生徒

というように，数学のテストの得点という観点から一つの物差しを設定してみます．このような集合 A〜E には

　　　A ⊂ B ⊂ C ⊂ D ⊂ E

という包含関係があります．さて，例えば

　　　1 ∈ A，2 ∈ A，3 ∈ B，4 ∈ F

だとしましょう．このとき，集合 E はいわば数学のテストを受けた生徒全体の集合のことですから当然

　　　1 ∈ E，2 ∈ E，3 ∈ E

です．しかし，4 は試験を受けていないので

　　　4 ∉ E

です．どうでしょう．1，2，3 と 4 の間に遠い距離感のようなものが表現されていると思いませんか．

　もう少し見ていきます．出席番号 3 の生徒について

　　　3 ∈ B　ではあるが　3 ∉ A

だとします．つまり，60点以上ではあるけど，80点未満だったということですね．集合 A は集合 B に含まれるので

　　　1 ∈ B，2 ∈ B，3 ∈ B

　　　1 ∈ A，2 ∈ A，3 ∉ A

と表すことができます．1，2，3 も60点以上というくくりでは同じくらいの近さをもっていますが，更に縛りを入れて，80点以上とすると，3 がそのグループから外れます．ここに，

　　　1，2　と　3

の間に距離感が表現できていると思います．

　今，1 と 2 は80点以上で，数学の優秀な部類にいますが，1 と 2 の間に隔絶したものは表現できているでしょうか．今は，集合 X において，A，B，C，D，E，F という6つの集合だけで要素同士の距離（のような）概念を考えています．1 と 2 はどちらも

　　　1 ∈ A，2 ∈ A

　　　1 ∉ B，2 ∉ B

であり，集合論の観点からしてまったく同じ性質を持っているので，距離感がなく密着していると考えます．たとえ 1番が100点，2番が80点を取っていても位相構造的にくっ付いていると考えるのです．

　位相空間とは集合と記号 ∈ を用いて，要素と要素の間に距離（のような）概念を表現したものなのです．集合 A，B，C，D，E，F だけで位相構造を表現しようとすると 1 と 2 はくっ付いていることになります．では，100点の 1番と80点の 2番を離すにはどうすればよいかというと，より細かな集合で位相構造を定義し直すことです．A，B，C，D，Eは20点刻みで分けましたが，今度は

　　　A = 数学が90点以上の生徒全体の集合

　　　B = 数学が80点以上の生徒全体の集合

　　　C = 数学が70点以上の生徒全体の集合

　　　　⋮

　　　J = 数学が0点以上の生徒全体の集合

　　　K = 諸事情で数学を受けていない生徒

として位相構造を考えると

　　　1 ∈ B，2 ∈ B

　　　1 ∈ A，2 ∉ A

ですから，1番と2番が離れました．このように，より細かい刻みの集合で考えた位相構造を，前の位相構造より強い位相構造であるといいます．

　位相構造を強くすると，これまでくっ付いていたものが離れたりします．逆に考えると……位相構造を弱めれば，離れていたものがくっ付くことがあります．

　二人の間の位相構造が弱まる

これの意味についてご理解できたかなーと思います．

　ちなみに X だけを用いて位相構造を考えると（厳密には空集合も入れる），すべての要素が平等に X に属していることしか距離（のような）概念を語れないので，すべてが密着している状態を表します．最も弱い位相構造です．

余談："I love you"の訳

夏目漱石が"I love you"を「月が綺麗ですね」と訳したらしいのは有名な話ですが，これを私が訳した場合，「君と最弱な位相を共有したい」くらいになりますかね．完全に変態です．

余談２：エヴァンゲリオンの位相空間？　について

よくSFで出てくる位相空間とは物理学用語で，今いった数学的な位相空間とは別物です．しかし，エヴァンゲリオンの位相空間はどうなんでしょう．専門家ではないので詳しくしりませんが，各個人が持っている「心の壁（ATフィールド）」なるものを破っていくというのが主旨の話ですから，人類全体における数学的意味での位相構造を弱めよう，という話ともとれなくもないです．