面白かったです。悲壮感に溢れるわけでもなく、でも単純なハッピーエンドでもなく。こういう物語、好きです。この時代の、そうした人物であれば、そうなるだろう、と思える点も好ポイントですね。
また、わかりやすい起承転結、それでいて「読者の興味を引くような場面を冒頭に持ってくる」というのは、上手い構成だと思いました。
ある種、定番の構成ではあると思うのですが、これって上手にやらないと時系列がわかりにくくて読者が少し混乱するのですよね。もちろん「ん？」と感じるのは一瞬だけど、その一瞬が読者にとって「作品世界から現実に引き戻される」という『一瞬』だから、作者にとっては致命的な『一瞬』になるはず（逆手にとって「あえて考えさせる」という手法もありそうですが）。
以上は、あくまでも一般論です（この作品の「気になった部分」ではないので、くれぐれも誤解しないでください）。その点、この作品では、全く「ん？」とはならず、話がスーッと頭に入ってきました。素晴らしいです。


また、作品そのものの面白さとは違う、細かい点ですが。

＞「西洋ではこういう時、互いの手を握るんだって。シェイクハンドっていうらしい」
＞「はっ、とんだ西洋かぶれだな」

握手も文明開化の一例だったとは知らなかったので、勉強になりました（フィクションであるはずの娯楽作品を楽しんで、知識が増えるって、いいですね）。
明治時代の西洋かぶれ、そして、そこから時代を経ての私たち。そうしたものに想いを馳せると、この作品のタイトルがカタカナ表記ではなく英語表記である点にも、作者の気持ちが込められているのだろう、などと思ってしまいました。

親兄弟同士、かつての友人同士が殺しあったのが明治時代の初頭ですから、このお話しは、とても切なくてリアルで胸に刺さりました。ちなみに、最近食べた横浜の明治創業の牛鍋屋さんは醤油味でした。お店によって（時代によって？）色々ありそうですね☆

大まかな時代考証はあっていると思います。
ただ気になるところがちょっとだけ。

「恭平の父親に世話に――」からの三行。
まずは「父親に世話に」で助詞の(に)が続いています。読み難いので、別の文章に直したほうがいいと思います。
そして、この文章ですが、話の流れからすると、鉄次郎の心の声だと思うのですが、作者の声とどっち付かずになっていると……。
どちらかに、統一した方がいいですね。
それと、当時の道場は剣術だけではなく、武士としての心構えや考え方、勉学を学ぶ場所でもありました。恭平の父から受けた恩は
、精神にも及んでいるはずです。もうちょっと突っ込んで書いても、いいかもしれないですね。

最後に、この当時の牛鍋は味噌仕立てでした。お出汁でもあっているけど……知っている人のほうが少ないかなぁ。(笑)