ようこそ、ヒルベルトホテルへ！

素数砂漠 その２

「すみませんが、予定変更です」

ｘさんは通信機をしまった。

「いきなりですが、仕事をしてもらいましょう」

ええー、あたしまだ、道も覚えてないのに！

「そんな不安そうな顔をしなくても大丈夫ですよ。私も一緒ですから」

ｘさんは胸ポケットから、小さいメモ帳と万年筆を取り出した。

「まずは、現場へ移動しましょう。私の服をつかんでください」

「え？　は、はい」

よくわからないまま、あたしはｘさんのジャケットの裾をつかんだ。

「このホテルを移動するには、紙とペンがあれば十分です。必要条件ではありませんけどね。これで、先程彼女が言った場所へワープしましょう」

わ、わーぷ？

ｘさんは綺麗な字で、さらさらと数式を書いた。

グイッと、あたしの体が何かに引っ張られた。

バランスを崩したあたしは、ｘさんの体に抱きついてしまう。

「わ、わ、ごめんなさい！」

パッと離れる。

「大丈夫ですよ。それに、もう着きました」

え、もう？

でも、前には廊下があるだけで、砂漠なんてどこにもない。

ｘさんが、あたしの後ろを指差した。

あたしは振り返った。

「うわっ！」

砂漠だ！

廊下が途切れ、そこから先は砂の世界。砂の上にぽつんぽつんと立っているのは、ドアだ。客室の入り口っぽい。

「な、なんでホテルの中に砂漠が……？」

「ここには色々な物がありますからね。宇宙もありますし、青春の夢もあります。砂漠くらい、あっても不思議ではありません」

ｘさんは冷静だった。

「支配人さん、やっと来たのです！」

あ、さっきの子だ。

砂山を作って遊んでいた女の子たちが、ｘさんを見つけて走ってきた。

「連絡ありがとうございます、四則さんたち」

ｘさんは、腰に抱き付いてきた女の子の頭を撫でた。

「あ、さっきのおねーさん！」

わーちゃんがあたしを指差した。

「おや、もう会っていたんですね？」

「えーと、会ってはいたんですが……。え、この子達は、従業員なんですか？」

「そうですよ。ｎさんの先輩になります」

この幼女さん達が先輩とな。

幼女先輩たちは横一列に並ぶと、あたしにお辞儀した。

「四則演算の＋（たす）なのです！」

元気な挨拶だ。

「四則演算の－（ひく）だよ」

クールな挨拶だ。

「四則演算の×（かける）よ」

高飛車な挨拶だ。

「四則演算の÷（わる）です……」

おどおどした挨拶だ。

四人の服は幼稚園の制服に見えたけど、言われてみればホテルガールの服だ。

「あたしは自然数ｎです。今日来たばかりで正も負もわからないのですが、ご指導よろしくお願いします」

あたしは真面目な挨拶をして、頭を下げた。

「任せるのです！」

＋先輩が胸を叩く。

「私達のことは、気軽に『たーちゃん』『ひーちゃん』『かーちゃん』『わーちゃん』って呼んでいいわ。私達も、その方が呼ばれ慣れてるから」

×先輩が髪をかきあげながら言った。

「わかりました、かーちゃん先輩！」

あたしが会釈しながら早速呼ぶと、かーちゃん先輩はむずがゆそうに照れた。

「さて、四則さん達。お客様はどこですか？」

ｘさんが聞く。

「あそこなのです！」

たーちゃん先輩が、遠くのドアを指差した。

遠くてよく見えない……。

けど、どうやら、ドアの前に誰かいるようだ。ドアの前を行ったり来たりしている。

「では、行ってみましょうか」

ｘさんが歩き出す。あたしと幼女先輩たちも、あとをついていった。

「それで、どうしてここが砂漠なのか、わかっているのですか？」

ｘさんがたーちゃん先輩に聞く。どうやらこの子が、四人のリーダー的存在らしい。

「もちろんなのです！　部屋番号を見るのです！」

言われた通り、あたしはドアに書かれた数字を見た。

145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000027

いや、なんだこれ！　何桁あるんだよ！

「ここにあるのは、ぜーんぶ、合成数なのです！」

「合成数」

あたしが繰り返すと、わーちゃん先輩が割って入った。

「はにゃ。ご、合成数とは、自分を含め、三つ以上の数で割れる自然数のことです。反対に、二つの数でしか割れない自然数のことを、素数と呼びます」

うん、うん、それはなんとなく知っている。

あたしは、自然数のことなら少しは詳しいのだ。

でも、これが全部、合成数？

あたしは廊下の途切れ目から、反対の砂漠の果てまで見渡した。

廊下の一番端にある部屋の番号は、

145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000001

だ。

「あの端にある自然数は、素数なの？」

「はにゃっ。は、はい。割れません！」

砂漠の上に立つ最初のドアの番号は、

145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000002

で、これはどうやら合成数。

そのあとも、ずーっと、合成数ってこと？

あたしは砂漠の果てを見た。遠くて霞んでるけど、たぶん、百枚以上ドアが並んでいる。

こんなに長い間、ずっと合成数が続いているってことだろうか。

「お客様、いかがなさいましたか？」

あたしはハッとした。

幼女先輩たちと話しているうちに、お客様のところに着いていた。

「素数がないぞ……」

お客様は、うなされるように言った。

「素数がないんだ。ここはずっと、合成数だらけなんだ。まるで砂漠だ」

えーと、まるでも何も、砂漠なんですけど。

「素数がない、素数がないぞ、素数はどこだ……」

「あ、お客様！」

お客様は、ふらふらと砂漠の奥へと歩いていく。あたしが呼びかけても、振り向きもしない。

「無駄ですよ、ｎさん。お客様に、我々の姿は見えません」

え、なにそれは。

「それどころか、お客様はご自分がこのホテルにいることすら、知らないのです。ご本人は、ご自宅や散歩道や……とにかく、ここではないどこかで、数学をしていると思い込んでいます。本当は、このホテルにいるのに、ね」

なにそれ怖い。

ｘさんは気軽に言って微笑んでいる。あたしは寒気がするんですが。

「さあ、とにかく、お客様の『問い』を引き出しましょう」

問い？　クエスチョン？

ｘさんはお客様に近付いて、その頭にそっと手を触れた。

すると、お客様の頭から、何かがニュニュニュッと出てきた。

ポンッと音がして飛び出した、雲のようなそれを、ｘさんがつかむ。

白くて、丸い。ふわふわしているけど、柔らかくはなさそう。不思議な見た目をしている。

「これは、興味深い問いです。実に面白い。読み上げましょう」

こほん、とｘさんは咳払いした。

幼女先輩さん達が、急に真面目な顔になった。

あたしも真似して、真面目な顔でｘさんの言葉を待った。

「問い。自然数列において、合成数が百個以上連続する領域を、素数砂漠と呼ぼう。

　最も長い素数砂漠は、合成数が何個連続するか？」

むむむ？　どういう意味？

台詞が急に漢字だらけになって、あたしは思案顔になった。

「つまりですね、私達が今いるような場所を、素数砂漠と呼ぶことにします」

「えーと、合成数の部屋が、百個以上続く場所ですよね」

「そうです。そしてこのホテルの中で、一番長い素数砂漠はどのくらいの長さか、と聞いているのです」

うーん、まぁ、問いの意味は分かった。分かったけど……。

「素数は、桁が大きくなるほど少なくなるのです。だから、桁が大きいところにうんと長い素数砂漠があるはずなのです」

「どうかな。そもそもここ以外に砂漠があるかどうかも疑問だよ」

「ふふん、ひーちゃんは相変わらず知能が欠けてるわね。砂漠は、少なくとも無限個存在するわ」

「引っ掛かる言い方だけど……どうしてだい？」

「だって、ここにひとつあるということは、ここの全部の自然数に２をかけたところにも、３をかけたところにも、同じ長さか、それ以上の長さの砂漠があるはずだもの」

「なるほど。うん、その通りだね。すると、問いに答える手っ取り早い方法は、ここの番号の倍数の廊下を全部調べることかな」

「おバカに磨きがかかってるわね。無限にあるのにどうやって調べるのよ。せめて有限時間で収まる方法を考えなさい」

おおう、幼女先輩たち賢いぞ。見た目に騙されてはいけない。

だけど、あたしにはひとつ、わからないことがある。

「あの！　ｘさん！」

「はい、ｎさん、なんでしょう？」

「そもそも、どうして考える必要があるんですか？」

「え？」

あ、どうしよう。困らせちゃった。

「こっちにもお馬鹿がいたわ。お客様の発した問いを解く。それが私達の仕事じゃない」

「いや、そうじゃなくて……。だって、この問いって、このホテルのことですよね？　ｘさんなら、このホテルにどのくらいの砂漠があるのか、知ってるんじゃないんですか？」

しん、としてしまった。

「そうですね、そこもまだ、説明していませんでした」

ｘさんは頭を下げた。

「実はですね、我々従業員の誰ひとりとして、このホテルの全容を把握している者はいないのです」

えっ！

「このヒルベルトホテルは、無限の過去から存在し、無限の広さを持っています。私も当然、全ては把握できていません。……砂漠があることも、今日初めて知りましたからね」

えぇ……。

「ですが、もしかしたらこの砂漠について、何か知っている者はいるかもしれません。ですから、まずはアレをやりましょう」

「アレ？」

「調査の基本、聞き込みです」