【Y=2】全ての白の石を盤面に並べる
先月のままになっていたカレンダーを破り、Mさんに渡す。
メモ用紙とは呼べないサイズだが、大きい分には問題ないだろう。
Mさんはそれをテーブルの上に広げ、ペンを持ったまま何かを考えているようだった。
しばらくして、彼女は用紙の端に『完全性』『無矛盾性』と書いた。
「“絶対的なもの”だとか“確実なもの”だとか表現の仕方は様々ですが、数学が目指すのはこの2つです」
そう言いながら、ペンで2つの文字を交互に指す。
「無矛盾は、言葉通り“矛盾が無いこと”ですのでいいとして、こちらの完全である、とはどういうことなのか。……わかりますか?」
Mさんが静かに俺に問いかける。
「……全てが絶対に正しい、とかでしょうか」
「“絶対”という概念を説明しようとするのに、“絶対”という言葉を使うのは感心しません」
Mさんが溜め息をつく。
いつもの彼女なら、こんな突き放すような言い方をしないのに。
俺は気を取り直して、言い直す。
「ええと、たとえば、“1+1=2”ってどんなときでも正しいですよね。全部がこういう確実なもので出来ている、っていうイメージです」
「違います」
Mさんはあっさりと言い放つ。
「“1+1=2”という命題を正しいと言えるのは、公理から
「はあ。じゃあ“1+1=2”なのは、たまたまそういう公理を選んだからで、そうじゃない場合もあるってことですか?」
「もちろんです。矛盾さえ無ければ問題ありません」
Mさんが言っていることが
人間が決めようが決めまいが、いつだって“1+1=2”だと思うのだが。
「ええと、公理から導けるものが正しいってことなら、それでいいです。とにかく、そういうもので埋め尽くされてるってのが完全ってことかな、と」
ふと、「埋め尽くす」という自分の発言で、一つの遊戯のイメージが浮かんだ。
言葉では上手く伝えられない。せっかくなので、その道具に頼ろう。
俺は引き出しから“オセロ”を取り出し、広げられた用紙の横に台を置く。
「正しければ“白”。間違ってれば“黒”。こんな感じで、“白”で埋め尽くすイメージです」
一枚一枚、白の面を表にして並べていく。
その様子をじっと眺めていたMさんが、ゆっくりと口を開いた。
「最初に置く数枚が、公理。そこから少しずつ証明を進め、“
ほんの一瞬だが、Mさんが微笑んだように見えた。
もしかしたら気のせいかもしれないが。
Mさんが石を何枚か手に取り、台を見つめながら言う。
「“
少しずつ、いつものMさんの雰囲気に戻っていく。
「そして、完全であるというのは、全ての“白”の石を盤面に並べることです」
「……ええと、全部が正しい、ってことです?」
「いいえ。“
違いがよくわからない。
首をかしげる俺を見て、Mさんは補足をしてくれる。
「たとえば、“
そう言いながら、Mさんは白の石を俺に見せる。
「ですが、もしこの命題を公理から導くことができない場合、それは不完全だということになります」
Mさんはそう言いながら、白の石を盤面の外に置いた。
「逆に、全ての“白”の石を余らせることなく盤面に置くことができれば、完全だということになります」
なるほど。
なんとなくイメージはつかめた気がする。
「現代数学の父とも言われるドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトが目指したことが、まさにこれです」
そう言いながら、Mさんは用紙の『完全性』と『無矛盾性』に矢印を伸ばし、その根元に『ヒルベルト・プログラム』と書いた。
「ヒルベルトは数学の諸問題を解決するための
なんだか意外だ。
数学者って、一匹オオカミみたいなイメージがあるから、みんなで協力し合うっていう絵面が浮かばない。
このヒルベルトさんが有能で、かつ人望もあったということだろうか。
「ですが、この計画は中止に追い込まれました。不完全性が証明されたのです」
そう言って、Mさんは悲痛な面持ちで、『ヒルベルト・プログラム』の上に大きな
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