数学的な彼女の日常

【Ｙ＝２】全ての白の石を盤面に並べる

　先月のままになっていたカレンダーを破り、Mさんに渡す。

　メモ用紙とは呼べないサイズだが、大きい分には問題ないだろう。

　Mさんはそれをテーブルの上に広げ、ペンを持ったまま何かを考えているようだった。

　しばらくして、彼女は用紙の端に『完全性』『無矛盾性』と書いた。

「“絶対的なもの”だとか“確実なもの”だとか表現の仕方は様々ですが、数学が目指すのはこの２つです」

　そう言いながら、ペンで２つの文字を交互に指す。

「無矛盾は、言葉通り“矛盾が無いこと”ですのでいいとして、こちらの完全である、とはどういうことなのか。……わかりますか？」

　Mさんが静かに俺に問いかける。

「……全てが絶対に正しい、とかでしょうか」

「“絶対”という概念を説明しようとするのに、“絶対”という言葉を使うのは感心しません」

　Mさんが溜め息をつく。

　いつもの彼女なら、こんな突き放すような言い方をしないのに。

　俺は気を取り直して、言い直す。

「ええと、たとえば、“１＋１＝２”ってどんなときでも正しいですよね。全部がこういう確実なもので出来ている、っていうイメージです」

「違います」

　Mさんはあっさりと言い放つ。

「“１＋１＝２”という命題を正しいと言えるのは、公理から真（しん）であることを導き出すことができるからです。私たちが使っている自然数論の公理では、たしかに“１＋１＝２”が証明されますが、異なる公理系を使う場合はそうとは限りません」

「はあ。じゃあ“１＋１＝２”なのは、たまたまそういう公理を選んだからで、そうじゃない場合もあるってことですか？」

「もちろんです。矛盾さえ無ければ問題ありません」

　Mさんが言っていることが詭弁（きべん）に聞こえる。

　人間が決めようが決めまいが、いつだって“１＋１＝２”だと思うのだが。

「ええと、公理から導けるものが正しいってことなら、それでいいです。とにかく、そういうもので埋め尽くされてるってのが完全ってことかな、と」

　ふと、「埋め尽くす」という自分の発言で、一つの遊戯のイメージが浮かんだ。

　言葉では上手く伝えられない。せっかくなので、その道具に頼ろう。

　俺は引き出しから“オセロ”を取り出し、広げられた用紙の横に台を置く。

「正しければ“白”。間違ってれば“黒”。こんな感じで、“白”で埋め尽くすイメージです」

　一枚一枚、白の面を表にして並べていく。

　その様子をじっと眺めていたMさんが、ゆっくりと口を開いた。

「最初に置く数枚が、公理。そこから少しずつ証明を進め、“真（しん）”の命題を増やしていく。……そうです。それがまさに数学の営みです」

　ほんの一瞬だが、Mさんが微笑んだように見えた。

　もしかしたら気のせいかもしれないが。

　Mさんが石を何枚か手に取り、台を見つめながら言う。

「“真（しん）”であり“偽（ぎ）”であるもの、つまり“白”であり“黒”であるもの。白黒が混ざったような石は不良品と呼ぶほかありません。それが矛盾です。そんな命題が導かれた公理系は、その時点で破綻します。この最悪のパターンを避けるのが無矛盾であることです」

　少しずつ、いつものMさんの雰囲気に戻っていく。

「そして、完全であるというのは、全ての“白”の石を盤面に並べることです」

「……ええと、全部が正しい、ってことです？」

「いいえ。“真（しん）”であるものを全て公理から証明できる、ということです」

　違いがよくわからない。

　首をかしげる俺を見て、Mさんは補足をしてくれる。

「たとえば、“真（しん）”であることはわかっている命題があったとします」

　そう言いながら、Mさんは白の石を俺に見せる。

「ですが、もしこの命題を公理から導くことができない場合、それは不完全だということになります」

　Mさんはそう言いながら、白の石を盤面の外に置いた。

「逆に、全ての“白”の石を余らせることなく盤面に置くことができれば、完全だということになります」

　なるほど。

　なんとなくイメージはつかめた気がする。

「現代数学の父とも言われるドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトが目指したことが、まさにこれです」

　そう言いながら、Mさんは用紙の『完全性』と『無矛盾性』に矢印を伸ばし、その根元に『ヒルベルト・プログラム』と書いた。

「ヒルベルトは数学の諸問題を解決するための計画（プログラム）を作り、当時の数学者たちに呼びかけました」

　なんだか意外だ。

　数学者って、一匹オオカミみたいなイメージがあるから、みんなで協力し合うっていう絵面が浮かばない。

　このヒルベルトさんが有能で、かつ人望もあったということだろうか。

「ですが、この計画は中止に追い込まれました。不完全性が証明されたのです」

　そう言って、Mさんは悲痛な面持ちで、『ヒルベルト・プログラム』の上に大きな×（バツ）を書いた。