数学的な彼女の日常

【Ｙ＝９】実在していないのと同じです

　図書館に備え付けられたカフェで向かい合って座る。

　ピークの時間帯は過ぎたとはいえ、店内には他にも客がたくさんいる。

　注文したものが届くまで、もう少しかかりそうだ。

「いやー、お腹空きましたねー」

「……すみません。長々と話してしまって」

　Mさんは申し訳なさそうに、というより恥ずかしそうに、小さく呟く。

「いやいや、メチャクチャ面白かったです！」

「……そう言ってもらえると、嬉しいです」

　俺の好きな人が、好きなもの。それを知っていくのは楽しい。

　そういえば先週、同じように向かい合いながら、ついそんなことを口走ってしまった。

　自分の発した言葉を思い出して、身体が少し熱くなる。

「そ、そういえば聞きそびれてましたけど、“ラッセルのパラドクス”はどうやって解決されたんですか？」

　Mさんは顔を上げ、さっきまでとは打って変わって、はっきりと答えた。

「“実無限派”が選んだのは、公理と集合論を分けることでした。考えるのは公理系のレベルのみ、と割り切ることで、有限と無限を切り離したのです」

「あ、公理って先週教えてもらったアレですか？　スポーツのルールみたいな当たり前の前提ってやつ」

「そうです。前提となる公理系、言ってみれば数学そのものを扱う姿勢は、“メタ数学”や“超数学”と呼ばれます」

　なんだかカッコいい響きだ。

「えーと、競技のプレイヤーじゃなくて、ルールを考える運営側に回る、みたいな感じです？」

「そんなイメージです。たとえば将棋の手数（てかず）は無限にあります。ですが、手数という無限そのものを扱うとパラドクスが生じるので、将棋のルールの方を考えることにしました」

「へええ」

　これも、発想の転換とでも言うべきなのだろうか。

　でも、それで何が変わるんだろう。

「ルールを考えるのは人間の作業です。つまり有限の範疇（はんちゅう）であるはずです」

　そう言って、Mさんは少し恥ずかしそうに自分のお腹をさする。

「なるほど。有限の範囲内に収まる作業なら、パラドクスは起きない、と」

「そういうことです。さらに言うなら、将棋そのものに意味を持たせる必要すらなくなります。大事なのは仕組みだけですから」

　突き詰めて考えると、そうなってしまうのか。

　でも、それってなんだか寂しいんじゃないか。

「ルールばっかり考えるより、実際に将棋を指した方が楽しいと思うんですけどね」

　浅はかな素人考えを、つい口に出してしまった。

「……あなたは、“可能無限派”かもしれませんね」

　Mさんが微笑みながら言う。

　どういう意味だろう？

「“可能無限派”からすれば、数学はそんな無機質なものではありませんから」

　そういうものなのか。

　よくわからないが、久しぶりに“可能無限派”の話が出てきたので聞いておこう。

「そういえば“可能無限派”だと、パラドクスは出ないんですか？」

「ええ。“可能無限”は、完結した対象として扱うことができません。ですので、“カントールのパラドクス”も“ラッセルのパラドクス”も起こりません」

　そうか。パラドクスが起きる原因は無限そのものを扱おうとするから。

　無限を可能性として考える“可能無限”なら、関係がないんだ。

「しかし、“可能無限”にも大きな制約が課せられることになります」

「制約、ですか？」

　Mさんは深刻な顔をして言う。

「無限に関して、“排中律（はいちゅうりつ）”が使えないのです」

「排中律……？」

　そう質問をしたとき、ちょうど俺が注文した『パイ包みのシチュー』が運ばれてきた。

　ポット型の容器を香ばしいパイがフタをしている。

　Mさんが注文した『そら豆のカレー』も、少し遅れてテーブルに置かれる。

「そのシチューの中には、ニンジンが３個入っている」

　突然、Mさんが妙なことを言う。

「という命題は、真（しん）か偽（ぎ）か、そのどちらかですよね」

「えっと……どういう意味です？」

「ニンジンの数は３個か、もしくは３個ではないか。そのパイのフタを開けて確認をしなくても、そのどちらかであることは自明です」

「そりゃ、まあそうですけど」

「これが“排中律”です」

　真か偽か、なんて言われると構えてしまうけれど、Mさんが言っているのは当たり前のこと。

　このシチューに入っているニンジンは、３個か、３個でないか、どちらかだ。

「しかし、無限のもの……たとえば円周率のπ（パイ）は話が違ってきます」

　あれ？　もしかして、これはパイとπをかけた数学ギャグなのだろうか。

「円周率は代表的な無理数です。不規則に、そして無限に続きます」

　ちょっと前に聞いた無理数の説明を、Mさんは繰り返した。

　“実無限”の立場だろうが、“可能無限”の立場だろうが、無理数が無限に続くことに変わりはない、ということか。

「延々と続く小数点の先に、たとえば『“７”が１００回続く部分がある』という命題を考えます。もちろん、現在はそんなことは確認されていません」

　もしそんな場所が見つかったら、さすがに計算間違いじゃないかと疑ってしまいそうだけど。

「“可能無限”の立場では、この命題は真か偽か、どちらかである、ということが言えなくなります」

「へえ……ええ？」

　一瞬、納得しかけたが、おかしいんじゃないか。

「えっと、それっておかしくないです？　『１００回続く部分がある』かどうかって、わからなかったとしても、『ある』か『ない』か、それってどっちかじゃないんですか？」

「“可能無限”を徹底するなら、そうなるのです。円周率の小数点の先、まだ解明されていない数字は、実在していないのと同じ、と考えるのです。なんだか哲学的ですよね」

　これまで聞いてきたなかで、一番不思議な話だ。

　解明されていない小数点の先は、実在していないのと同じ。

　真っ暗な宇宙の果てを進んでいくような、そんなイメージが浮かぶ。

「冷めないうちにいただきましょう」

　Mさんはそう言い、スプーンを手渡してくれた。

　ぼんやりした頭のまま、パイのフタを開けてみる。

　ニンジンは３個、入っていた。