数学的な彼女の日常

【Ｙ＝７】濃度を変える唯一の方法です

　無限の“濃度”は同じではない。

　Mさんはそう言った。

「あ、じゃあ二次元と三次元で違うとか？」

　なんとなく思い付いたことを、とりあえず口に出してみる。

　平面の無限と立体の無限だったら、同じ無限でも立体の方が多そうだ。

「残念ながら、次元が異なっても“濃度”は同じです」

「ええ……。じゃあ、他になにがあるんだろう……。わかんないです」

　ギブアップした俺を見て、Mさんはあっさりと答えを言う。

「組み合わせです。それが濃度を変える唯一の方法なのです」

「組み合わせ？　それってどういう？」

「ある集合の部分集合を要素として持つ集合を作ります。これを“冪（べき）集合”と言うのですが——」

「あー、えっと、すみません、もう一回いいですか」

　説明の途中で言葉を挟むのはためらわれたが、このままだと完全に置いてけぼりをくらいそうだったので、一旦止まってもらう。

　集合という言葉が乱発されて、頭が混乱してしまった。

「そうですね……。では、これも図書館の本に例えてみましょう。ここの図書館をＡとします。いくつもの本が集められて作られた集合です。図書館Ａの“要素”は、この図書館が持っている本です」

　Mさんは簡単な言葉に置き換えながら説明をしてくれる。

　うん、これならわかる。

「そして、この図書館Ａが持っている本のなかでパッケージを作ったとします」

　そう言いながら、Mさんは立ち上がり、すぐそばの本棚から数冊を取り出した。

「たとえば、これらの本は『私が今ランダムに選んだもの』というような括（くく）りですが、このような組み合わせを全て考え、それらをパッケージとして作ります」

　考えられる全ての組み合わせが、それぞれ一冊のセット本として作られる。

　きっと途方もない数になるであろうパッケージをイメージする。

「それらのパッケージも本であることに変わりはありません。なので、たくさん作られたパッケージを別の図書館Ｂに並べたとします」

　ええと。この図書館Ａに所蔵している本のあらゆる組み合わせを考える。

　その組み合わせをセットにして一つ一つ本にして、図書館Ｂに配架する、と。

　うん、なんとなくのイメージはできた。

「この図書館Ｂを、図書館Ａの“冪（べき）集合”と呼びます」

　なるほど。組み合わせで新しく集合を作る、という意味がなんとなくつかめた気がする。

「そして、大事なのはここからです。実際の図書館には有限の本しか置かれていませんが、図書館Ａは無限の本を持っていると考えます」

　無限の本を所蔵する図書館。本好きにとってはまさに夢のような所だろう。

「すると、面白いことが起きます。“冪（べき）集合”である図書館Ｂは、図書館Ａよりも“濃度”が大きいのです」

「……んん？　ええと、つまり、一冊ずつペアを作っても、図書館Ｂの方が余るってことですよね」

「そういうことです。“対角線論法”という手法で証明されます」

　そう言ってMさんは俺の持つメモ用紙で作られた三角形の対角線を指差した。

　これ以上は頭がパンクしそうになるので、どうやって証明するのかまでは聞かずにおこう。

「さらに面白いのが、自然数の“冪（べき）集合”を作ったとき、その集合は実数の“濃度”と同じだということです。つまり、実数の“濃度”は自然数よりも大きいということです」

「ほぇー」

　あまりの情報量に、つい変な声が出てしまった。

　実数という全ての数は、自然数の“冪（べき）集合”と同じ“濃度”を持つ。

　次元では越えられなかった壁を、組み合わせは越えていく。

　不思議な感覚だ。　

「あれ？　実数も集合の一つですよね。なら、組み合わせを考えて“冪（べき）集合”を作ることもできますよね。そしたら、さらに“濃度”は大きくなるってことですか？」

「そう。その通りです。そうやって無限が無限に広がっていくのです。それが、無限集合論です」

　Mさんが弾んだ声で答える。

　無限が無限に広がっていく、なんて想像することもできない。

　でも、数学はそんなものですら扱うのか。

　頭を整えるために、図書館の例でもう一度考えてみる。

　無限の本を持つ図書館がある。その本をいろんなパターンで組み合わせてパッケージにする。それらも全て本として、別の図書館に納められる。

　空想のなかでそんな無限に広がる図書館を思い描いていると、一つの疑問が浮かんだ。

「あの……ふと思ったんですけど、国立国会図書館みたいな集合って作れるんですかね」

　国立国会図書館には全ての図書が納められる。

　パッケージとして作られたセット本も一冊の本だとするのなら、理屈の上ではその本も国立国会図書館には納められることになる。

「国立国会図書館みたいな集合を考えたときって、理論上はありとあらゆる本を持ってるはずじゃないですか。でも、数学だとその“冪（べき）集合”を作ると、国立国会図書館よりも大きな集合ができちゃうわけですよね。なんか、おかしくないです？」

　Mさんが驚いた顔をしてこちらを見る。

「……よく、そこに気付きましたね。それがまさに“カントールのパラドクス”です」

　なんと。

　俺は偶然にも、宝庫にあるパラドクスの一つを探し当ててしまったらしい。