数学的な彼女の日常

【Ｙ＝５】無限の世界で開花するのです

　無限が現実に存在すると、無意識に俺は思っている。

　そうMさんは言った。

　本当にそうなんだろうか。なんともいえない違和感に包まれる。

　延々と答えの出ない問題を考えて脳が熱を帯びていくような。

　でも、嫌な感覚じゃない。

「あ、そうだ。ちょっと気になったことがあるんですけど」

「はい、なんでしょう」

　細かなことかもしれないが、せっかくなので聞いておこう。

「無理数は分数で表せなくて、有理数は分数で表せるって話でしたよね。で、一番の違いは規則性があるかどうかって」

「はい。無理数は不規則です。これも証明できます」

「えっと、気になってるのは有理数の方なんですけど、たしかに“１／３（３分の１）”は“０．３３３３３・・・”って続くんでいいとして、たとえば“１／７（７分の１）”なんかは不規則なんじゃないです？」

「いえ、規則的ですよ。実際に確かめてみてください」

　Mさんはそう言って余ったメモ用紙と鉛筆を俺に渡してきた。

　これで計算してみろ、ということなのだろうか。

「あ、スマホでやります」

　Mさんには悪いが、ここは文明の利器に頼らせてもらう。

　スマートフォンを取り出し、計算機アプリで“１÷７”と入力する。

「あ、ほら。不規則じゃないですか」

　スマートフォンには“０．１４２８５７１４”と表示がされている。

「桁が足りないからです。横にしてください」

「横？」

　Mさんが意味のわからないことを言う。

　何を横にするのだろう。

「横です」

　突然Mさんが手を伸ばし、俺の指ごとスマートフォンを横に傾ける。

「えっ？　……あれ、なんか表示が変わった？」

「横にすると関数電卓になるんです。表示される桁数も増えるので、よく見てください」

　こんな機能があるなんて知らなかった。スマートフォンってすごい。

　数字をよく見てみる。

　“０．１４２８５７１４２８５７１４”と、さっきよりも数字が少し伸びている。

「……あ！　“１４２８５７”って続いてる！　これが規則ってことですか？」

「その通りです。“ｍ÷ｎ”で表せるならば、どこかで数字の列が循環するか、同じ数が続くか、そのどちらかになります。逆に、循環したり同じ数が続くならば、必ず“ｍ÷ｎ”で表すことができます。これらの証明はそこまで難しくありません」

　Mさんの「ならば」という言い方で、つい先週、喫茶店で聞いたことを思い出した。

「あ！　もしかして、それの対偶を考えてみたら、無理数が不規則ってことを証明できちゃうんですかね」

　Mさんが少し驚いた顔をして言う。

「そう、その通りです」

　やった。合っていたみたいだ。

　“分数で表せる”ならば“規則性を持つ”。

　その対偶は、“規則性を持たない”ならば“分数で表せない”。

　そして。

　“規則性を持つ”ならば“分数で表せる”。

　その対偶は、“分数で表せない”ならば“規則性を持たない”。

　つまり、無理数（分数で表せない数）は不規則な数で、不規則な数は無理数（分数で表せない数）なんだ。

「無理数が不規則に続くことは納得いただけたみたいですね」

　俺は大きくうなずく。

　ここまではわかった。

　でも、一つ大きな疑問が残っている。

「“√２”が無理数で、不規則にずっと続くということはわかりました。で、そんな“√２”を値が決まったものみたいに扱うのは、無限を現実に存在してるっていう“実無限派”の考え方と同じっていうのも、まあわかりました」

　わからないのはこの先だ。

「だとしたら、ほとんどの人は“実無限派”ってことになりますよね。逆にどういう人が“可能無限派”なんですか？」

　“√２”は値の決まった数。

　中学や高校で数学の授業を受けた人は、きっとみんなそう考える。

　なら、そうではない“可能無限派”というのは、どういう人達なんだろう。

「哲学者や論理学者、あと一部の数学者ですね。“可能無限派”と“実無限派”の対立は昔からあるんです」

　対立、なんて言うものの、Mさんは楽しそうに話す。

「私のイメージですが、確実さを尊重し、より慎重な姿勢の学問は“可能無限派”の立場を取るように思います」

　少し意外だ。

　数学ほど確実なものを追求するものはないと思ったのだが。

「たしかに無限そのものを扱おうとするのは、常に矛盾と隣り合わせのようなものです。先ほどお話した“ゼノンと矢のパラドクス”だけでなく、“カントールのパラドクス”、“ラッセルのパラドクス”など、常に論争は絶えません」

　さっきMさんが言った「パラドクスの宝庫」というのはこのことなのか。

「矛盾とかパラドクスとか、そういうのが多いのっていいんですか？　弱点が多いってことですよね」

　そんな俺の言葉を受けて、Mさんは心なしか胸を張って言う。

「弱点が多いことと、魅力的であるかどうかは別です。むしろ、弱点が多いからこそ惹かれるものも、あるのではないでしょうか」

　なるほど、と思う。

　思い当たることはいくらでもある。

「無限を扱う数学は、そんな世界で開花するのです」

　熱を帯びた言葉から、本当に好きだということが伝わってくる。

　つい、勝ち目の無い嫉妬のようなものを覚えてしまいそうになるのが、自分でも少しおかしかった。