数学的な彼女の日常

【Ｙ＝２】いつまでもゴールできません

「無限という概念は非常にデリケートなものだと私は思います」

　Mさんが足を止めて言う。

　図書館内だからか、こころなしか小声になっている。

「下手に扱うとパラドクスを生じます」

「パラドクス、ですか？」

「はい。無限はパラドクスの宝庫と言っても過言ではありません」

　そう言うMさんはなぜだか少し楽しそうに見えた。

「あの……パラドクスって、“矛盾”って意味ですよね。数学って、矛盾があっちゃマズいんじゃないです？」

「致命的にマズいです」

「それなのに……宝庫？」

「ええ。なので、そうならないように注意深く進むのです」

　そう言いながら、Mさんはゆっくりと数歩分だけ進み、振り返って俺に向けて手を伸ばした。

「ここから、あなたの場所までは数メートルの距離があります」

「……？　そうですね」

「受け取ってくださいね」

　そう言ってMさんは自分の頭から何かを取り、それを軽くこちらに投げた。

「っと。ん？　ヘアピン？」

「ナイスキャッチです。ちゃんと届きましたね」

「……？　どういうことです？」

　彼女が何をしたいのか全く理解できず呆然としてしまう。

　Mさんは俺の手からヘアピンを受け取り、またさっきいた場所に戻った。

「いま、私が投げたヘアピンはこの距離を進みました。だいたい１秒間でしょうか」

　頭の中で１秒間を数える。おそらくそのくらいだったように思う。

「１／２秒が経ったときは、この半分の距離まで進んだことになります」

　Mさんは数歩進み、俺との距離を約半分ほど詰める。

「では、さらに１／４秒が経ったときは、このくらい」

　そう言って、一歩だけ近付く。

「そして、そこから１／８秒が経過したときは、このあたり」

　半歩、彼女が近付く。

「もう言わなくてもわかると思いますが、１／１６秒、１／３２秒、と細かくしていきます。そうすると、ヘアピンはいつまでもゴールできません」

　さあ何かコメントを、と言わんばかりに俺にヘアピンを向ける。

「それが……パラドクスですか？」

「はい。古代ギリシアの哲学者ゼノンが作り出したと言われる“ゼノンと矢のパラドクス”です。元弓道部ならご存知かもしれませんが」

　全くご存知ではない。弓道部をなんだと思っているのか。

　そもそも、なにがどうパラドクスなのかもよくわからない。

「これって、ただ１秒間を細かく分けてるだけですよね。時間の概念がおかしいだけでは？」

「そんなに甘いものではありません」

　Mさんはヘアピンを頭に付けながら、あっさりと言う。

「１秒間を細かく分けているだけ、という解釈はごもっともです。でも、ただそれだけの話であれば、パラドクスとして名前が残ってはいません」

　たしかにそうか。

　なら、何が問題だというのだろう。

「１／２秒、１／４秒、１／８秒、１／１６秒、１／３２秒と、どんどん細かく分けていきます。これをずっと続けていきます」

　１／６４秒、１／１２８秒、１／２５６秒、と頭のなかで暗算をしてみる。

「この細分化には限りがありません。それこそ無限に続けられます。ですが、実際には１秒間でヘアピンは届きます。つまり、１秒間という有限の時間に、無限の細分化の作業が含まれることになります」

「……んん？」

　わかったような、わからないような、変な気分になる。

　有限の時間に無限の作業が含まれる。

　確かにおかしいような気がするが、おかしさの正体をつかみきれない。

「１……２……」

　気付くと、Mさんはまた少し離れた場所に立っていた。

「１／２秒のときに“１”と数えます。１／４秒のときに“２”。そしてここで“３”」

　半歩、足を踏み出しながらMさんが言う。

「これを続けていくと、どうなるでしょう。１秒間の間に、自然数（※）を数え尽くすという作業が完了することになりませんか？」

　なるほど。

　無限の作業というのは数字を最後まで数える作業と同じで、それを１秒間という有限の時間のなかに収まっている、ということがパラドクスの本質なのか。

　この気持ち悪さの正体がほんの少し見えた気がした。ほんの少し、だが。

「……なんとなく、わかったような気がします。でも、実際にはちゃんと届きますよね」

「さきほど、それを確認しましたね」

　わざわざ投げなくてもいいのでは、とも思うが。

「えっと……つまり、なにかがおかしいってことですよね」

「そうです。つまり、無限の解釈に注意が必要だということです」

　Mさんはそう言いながら、無限の作業を経て、俺の横に立った。

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※自然数

これはそのまんまだね。自然な数。１、２、３・・・って続く数のことだね。もちろん無限に続く、限りのない数。

数学系の人は“１”から数えるけど、論理学系の人は“０”から数えるって話だよ。

なんかいろんな派閥があるんだね。