たくさん進んで一歩下がる

第18話 巨大数のパラドックス

「ねえねえ、関数テトレーションがハイパーn+2演算に相当ってどういうこと？」

　ロクリアちゃんは純粋な眼差しで聞いてくる。

「うん、今の例では

　f(x)=x+2

　は足し算の関数、つまりハイパー1演算だった。でも、リディアさんが作ってくれたf^^n(m)の公式を見てみよう。

　f^^n(m)=(m+1)2^n-m

　は、2^nという式があるから、つまり冪乗と同じ程度の強さ、つまりハイパー3演算くらいの強さになったよ、ってことだね」

「強さ？？」

「関数がどれくらいのスピードで大きくできるかってことかな」

「でもさ、2^nにもm+1が掛けられてるから、冪乗より強そう！」

「そうだね。でも実際には、数が大きくなると、何倍したか、っていうのは大して問題じゃなくなる」

　ロクリアちゃんは意味不明といった顔付きだ。

　リディアさんの方を見ると、やはりいつものように優しく微笑んでいる。

「じゃあまず巨大数のパラドックスの話をしよう」

　昔々あるところに、一組の夫婦が住んでおりました。

　ある日、その夫婦は双子の赤ちゃんを授かります。一人は男の子。一人は女の子。

　男の子のほうには、2^n、女の子のほうには3^nと名を付け、大切に大切に育てました。

　0年目に1から育った子供たち2^0=1と3^0=1ですが、

　その名のごとく、

　1年目には2^n君は2、3^nちゃんは3、

　2年目には2^n君は4、3^nちゃんは9に育ちました。

　二人とも仲良く一桁の子達の公園で遊んでいます。両親はそれをみてニコニコしていました。

　ところが、3年目になると、3^nちゃんは一気に成長して、27になります。両親は、二桁幼稚園に通わせました。2^n君はまだ8ですから、一桁公園で遊んでいます。

　4年目は、2^n君(16)もようやく二桁になって、姉弟そろって二桁幼稚園に入りました。

　しかし、5年目にもなると、3^nちゃん(243)の成長は凄まじく、あっという間に三桁小学校に入ってしまいます。このままではどんどん飛び級していきそうです。まだ2^n君は32です。2^n君にとってお姉さんはどんなに大きく見えることでしょう。

　ようやく2^n君(128)が三桁小学校に入れた7年目、3^nちゃんはもう2187にまで成長しています。両親も3^nちゃんの成長ぶりは目を見張るようでしたが、2^n君との成長の差も少し気になっていました。

　ふたりが10歳の誕生日を迎えたとき、2^n君(1024)はようやく四桁になれた、と家族で嬉しく思いました。しかし、3^nさん（もうちゃん、なんて似合いません）は、59049です。二年に一回は飛び級というスピードでした。ついに11歳になり、3^nさん(177147)は、六桁の国へ留学してしまいます。

　2^n君(2048)と3^nさんは別れを惜しみました。2^n君は、

「いつか姉さんに追いつくからね！忘れないでね！」

　と言いました。しかし、3^nさんは遥かに先の世界しか見えていないようでした。

　17歳になったとき、2^n君(131072)は、ついに別れを告げたあの日の姉と近いところまで来ていました。しかし、姉の3^n(129140163)は世界に名を轟かせる有名人でした。

　それから二人はそれぞれがそれぞれの世界で活躍します。

　40歳になったとき、2^n氏(1099511627776)はその世界でのトッププレイヤーでした。3^nさん(12157665459056928801)も、最先端も突っ走っています。

　2^n氏は姉に手紙を書きました。

　お姉さん、お元気ですか。

　もう会えなくなってしまって何十年にもなるけど、活躍のお話はいつも聞いています。いまは1100万倍以上も離れてしまったけど、僕も一生懸命頑張っています。

　またお会いできますように。

　お返事がきました。

　2^nへ。こちらは20桁の世界で元気でやっています。

　長い間ご無沙汰してしまってごめんなさい。でも、13桁の世界も20桁の世界も、もうほとんど同じだと思います。ただ、私は奇数をつきつめて、あなたは偶数を突き詰めているんですよね。また、いづれ会えるでしょう。

　しかし、二人の世界の距離はひらいたままで、ついに80歳になって、10進記法のこの世から旅立ってしまいました。

　2^n氏(1.209×10^24)は悔いを残したままだったでしょう。

　3^nさん(1.478×10^38)も会えなかったことを申し訳なく思っていたかもしれません。

　指数の神様は、結局二人を会わせることはしませんでした。

　長い長い時間がたちました。

　二人が生まれてから1000年、暗闇のような世界を2^nは漂い続けていました。

　彼は、1.071×10^301という大きさになって、なお、暗闇の世界を進み続けていたのです。しかし、姉の気配を感じることはありました。3^nもまた1.322×10^477となって暗闇の中にいたのです。

　何千年、何万年、何十万年、何百万年、何千万年、何億年、何十億年と経ちました。

　ふたりの孤独はどれほど続いたのでしょうか。

　それでも、100億年、すなわち、10^10年経った二人の誕生日、

　3^n(10^10^9.678)は、2^n(10^10^9.478)の声をたしかにはっきりと聞いたのでした。そして、もちろん2^nも3^nの声をはっきりと聞いたのでした。

　そう、声はもう届く距離に来ていたのです。もうすぐ、姿も見えるでしょう。

　こうなってしまえば、何百億年、何千億年、何兆年、何京年、と経っても孤独を感じることはありませんでした。そんな数えることが不可能なほど時間が経っても・・・。

　10^10^10年経った時

　2^nは10^10^10^9.999999999977

　3^nは10^10^10^9.999999999986

　になっていました。

「姉さん・・・長かったね」

「うん・・・長かった」

「いつかまた会えると思ってたよ。これからはずっと一緒だね」

「そうね、私たちはこれから永遠に≒という記号で結ばれるの」