たくさん進んで一歩下がる

第7話 ロクリア関数

「ねえねえはかせ！！」

　今日は元気いっぱいに飛び込んできた！

「すごいお賽銭箱考えたよ！！」

　関数への苦手意識は少し消えたのかな。だといいけど・・・。

「問題です！7円入れると2046円拾える御利益があります！

　6円入れるといくら拾えるでしょう！」

　私に突然戦慄が走る。そして、すべてを了解した。が、一応ロクリアちゃんに問う。

「それは・・・すごい！じゃあ1円とか2円とか別の金額のときはどうなるの？」

「へっへー、ナイショ！」

「それじゃわからないよ・・・もう少しヒント・・・」

「じゃあね、1円の時は2円拾えるよ」

「もうちょっとヒント・・・」

「2円のときは4円拾える。少ない金額のときは、大してお金くれないの」

「3円のときは？」

「えーとね・・・ちょっと待ってね」

　ノートを取り出しちらちらめくるロクリアちゃん

「6円だよ！」

「倍のお金しかもらえてないじゃん！なのに、7円入れたとき2046円も貰えるの！？」

「うん！4円入れると22円貰えて、すこし増えた感じするでしょ。もういっぱいヒント出したよ！6円のときはいくらもらえると思う？」

「わからないな・・・1000円くらい貰えちゃう感じ？」

「ぶっぶー382円でしたー！」

　といってノートを見せるロクリアちゃん。

　2...110

　3...102

　4...101

　5...100

　6...55

　12...4,11

　24...3,23

　48...2,47

　96...1,95

　192...191

　383...0

　と書いてある。

「えっと、これどう読むの？」

「あのね、この前n進法でゲームやったでしょ。それでね、6からはじめたら、

　6を2進法で表すと110

　3進法に読み直して1を引くと、110-1=102

　4進法に読み直して1を引くと、102-1=101

　5進法に読み直して1を引くと、101-1=100

　6進法に読み直して1を引くと、100-1=55

　でしょ、あとは5ターン省略してもいいんだけど、面倒だから6ターン省略しちゃった。それで、

　12進法になったとき、十の位が4、一の位が11になるから、「411」って書くとわかんなくなっちゃうから、「,」で区切ったの！見やすいでしょ！」

「すごい！たくさん計算したね！」

「それでね、お賽銭箱にある金額いれると、このゲームのターン数分のお金が帰ってきまーす！」

　ロクリアちゃんは意気揚々としている。でも、突然ちょっと不安そうな顔をした。

「どうしたの？」

「ねえ、これって関数になる？」

「うん、もちろん関数だよ。どんな自然数を入れてもこのゲームは実行できる。そして、必ず0になってくれるから、ターン数も必ず一つの自然数に決まるよね」

「そうなんだけどね・・・なんか8を入れると、ほんとうに0になるのかな・・・って」

　そして、ノートをめくる。そのページは・・・少し尋常ではなかった。

　50331648...1,2,50331647

　100663296...1,1,100663295

　201326592...1,0,201326591　

　402653183...1,0,0

　402653184...402653183,402653183

　805306368...402653182,805306367

　1610612736...402653181,1610612735

　そして、埋め尽くすばかりの筆算、消した跡。そして、モームリ！と最後には書かれていた。

「いや、0になることはなんとなくわかるの。あと4億回くらいくりかえせば、きっと0になるよね。でもそんな大きい数って、数なのかな・・・？って」

「そうだね・・・でもよくここまで計算したね。あと4億回はちょっとむりだから、別の方法を考えよう。たとえば、十の位が1減るごとに、左の数は倍になってるよね。ってことは、402653184を、402653183回、倍にすればいいんじゃないかな？」

「どうやってそんなことするの！？」

「んー、2を5回掛けるときって、どうやって式にするか知ってる？」

「うん、2^5でしょ」

「じゃ、402653184に、402653183回、2を掛けたら？」

「あ！402653184×2^402653183だ！」

「その通り！このときどうなってるかわかる？」

「十の位が0になったから・・・

　402653184×2^402653183...402653184×2^402653183-1

　こうなる・・・と思う」

「そうだね、ということはだよ、左の数に右の数を足したのが答えだよね！」

「うん！

　402653184×2^402653183+402653184×2^402653183-1だ！」

「そうなんだけど、ちょっと整理してあげようか。

　402653184×2^402653183+402653184×2^402653183-1

　=402653184×2^402653183×2-1

　=402653184×2^402653184-1

　ここで、ロクリアちゃんのノートによると402653184=24×2^24だから、

　=(24×2^24)×2^(24×2^24)-1」

　24も、3×2^3を使って少し整理するよ

　=(3×2^26)×2^(3×2^26)-1

　さらに指数法則でまとめよう

　=3×2^(3×2^26+3×2^26)-1

　さて、分配法則と指数法則で一気にまとめると、

　=3×2^(3×2^27)-1

　こうだ！これが0になったときの進法だから、ターン数は

　3×2^(3×2^27)-2

　になるね！」

「あれ？わかりやすくなったけど、なんだか迫力がなくなっちゃった」

「いやいや、そうでもないよ。3×2^(3×2^27)って、実はバカでかい数だよ。

　3×2^27=402653184なんだけど、ってことは、

　2×2×2×・・・って4億回以上も続けるってことだよ。だいたい1億2千万桁くらいの数だ！」

「1億2千万桁！」

「1億2千万桁ってどれくらいすごいかっていうと、1文字1Byteだと仮定すると、120MBの容量がすべて数字で埋まるような大きい数だ。一応想像できる範囲かもしれないけど、とてつもない大きい数だよね！」

「すごい！こんなお金もらえたら、この国がお金で埋まっちゃうね！」

「お賽銭箱の話に戻るよ。1を入れたら3が帰ってきた。2を入れたら4が帰ってきた・・・、まとめると、

　1→2

　2→4

　3→6

　4→22

　5→62

　6→382

　7→2046

　8→3×2^(3×2^27)-2

　ってなるね！これは立派な関数だ！ロクリア関数って名前を付けよう！」

「ロクリア関数！わたし、ちょっと関数とお友達になれたかな！？」

　定理4.

　定理1.の初期数値をxとして、0に到達したときの世代数をf(x)とする。

　このとき関数y=f(x)をロクリア関数と呼ぶ。

　このロクリア関数において、

　f(8)=3×2^(3×2^27)-2

　注)これは弱いグッドスタイン数列の項数に一致する。初項を数えない、もしくは第0項とする流儀では、

　f(8)=3×2^(3×2^27)-3

　となるが、今後の拡張に備えて、今回のように定義した。