たくさん進んで一歩下がる

第5話 グッドスタイン数列に挑戦

　ロクリアちゃんはとにかく好奇心が旺盛だ。何事も知らないことを許せない。そういう心意気を感じる。そして、いつもいろんなことを考えている。もちろんくだらないこともいっぱいだ。いや、そのほとんどがくだらないことだと言っていい。もともと物事がくだらないかどうか、そういうことをロクリアちゃんは一切気にしていないようだ。ただ、どこかに楽しいことが転がってないかな？そういうことが一番大切なのだ。

「じゃあやってみようか。たとえば、5を遺伝的記法で、2を底にしてみたらどう？」

「2進法ってことだよね！」

「う～ん、2進法とはちょっと違うんだけど・・・でも似たような感じだからそう思ってもいいと思うよ」

「えっと、5はまず2の2乗より大きいよ、だから、

　5=2^2+1

　あれ？おわっちゃった。つまんないの」

「でも、このまえ7から始めて2046ターンもかかるゲームやったでしょ？だからあんまり時間がかかり過ぎないように、これくらいにしておこうよ」

「う～ん・・・」

　ちょっと不満そうである。でも計算してみればきっと目を輝かせるに決まってる。私はそう思って、なんとか説得する。

「とにかくさ、やってみようよ。小さい数から始めるのは練習になるし」

「いいよ。で、これを3進法にするんでしょ？」

「底を3にするのね。進法じゃないから、底って呼び方にしようよ」

「えー・・・」

　ますます機嫌を損ねるロクリアちゃん。今日は少し調子が乗らないな、と思いながらも説明する。

「まず、2^2+1にある2を全部3に変えて、それから1引いてみて。それが2世代目ね」

「うん

　3^3+1-1

　=3^3

　=27

　ってなったよ」

「そうだね。ところで、3^3って当たり前だけど、27の3を底にした遺伝的記法になってるよね。じゃあ、この3を4に変えて、1引いてみて。3世代目だよ」

「うん

　4^4-1

　=255

　あ、とたんに大きくなった！」

　すこし声が大きくなったのを聞いて安心する私。

「じゃあ、255を4を底にした遺伝的記法で書ける？」

「えーとねえ

　4^4=256でしょ、これは255より大きいってことは4^3だよね。4^3=64だから、255÷64=3...63ってことは、まず

　255=3×(4^3)+63

　こうなるよね？」

「いいぞいいぞ」

「次は63を遺伝的記法にすると、

　4^2=16だから、63÷16=3...15ってことで、

　255=3×(4^3)+3×(4^2)+15

　あとは簡単だ！

　255=3×(4^3)+3×(4^2)+3×4+3

　これであってる？」

　おそるおそる私をみるロクリアちゃん

「あってるよ！さすがだ！もう遺伝的記法はお友達になれたね！」

「うん！で、このあとどうするの？」

「いま、そこに出てきてる4を5に書き換えて1引いてみようか。これで4世代目」

「えっと・・・

　3×(5^3)+3×(5^2)+3×5+3-1

　でしょ？わー・・・計算大変」

　すこしテンション落ち気味のロクリアちゃんをみて、私は必死に関数電卓で計算する。もちろん一瞬で答えを出してくれる。

「467だよ」

「これまた遺伝的記法で書くの？」

「そうなんだけど、実は

　3×(5^3)+3×(5^2)+3×5+3-1

　をそのまま計算しちゃえば、遺伝的記法になってるから、

　3×(5^3)+3×(5^2)+3×5+2

　で大丈夫だよ」

「ってことは、あと2回は計算が簡単ってことよね」

「うん。だから、2世代一気に進めちゃって、6世代目、底は7のとき

　3×(7^3)+3×(7^2)+3×7」

「いくつ！？いくつ！？」

「1197になったよ」

「へえーその次はどうなるんだろ」

　ちょっと調子を取り戻して安心する私。

「7世代目、底が8になるんだけど、

　3×(8^3)+3×(8^2)+3×8-1

　これを計算すると、最後の項が

　23=2×8+7

　になるだけであとはそのままだね

　だから、結局

　3×(8^3)+3×(8^2)+2×8+7」

「ってことはまた7世代スキップして大丈夫だね」

「うん。スキップしちゃうと・・・

　14世代目、底が15で

　3×(15^3)+3×(15^2)+2×15」

「すごい！いまどのくらいの大きさ？」

「10830になってるよ」

「大きくなるんだねえ」

「次は最後の2×15が崩れそうだよ。15世代目、底が16のとき・・・

　3×(16^3)+3×(16^2)+16+15」

「15世代スキップ！私が書くね！30世代め！

　3×(31^3)+3×(31^2)+31」

「いいぞいいぞ。次は31が崩れて・・・」

「31世代スキップ？」

「ううん、ここはちょっと注意が必要。次31世代め、底が32のとき

　3×(32^3)+3×(32^2)+32-1

　こうなるはずだから、ここから31世代スキップだ」

「そっか、ただの数になっても増えるんだ」

「それで、62世代め、底が63になったとき

　3×(63^3)+3×(63^2)

　になるよね」

「値は！？」

「762048だよ」

「ななじゅうろくまんにせんよんじゅうはち」

「うん」

「70万円かあ・・・あったらなんでもできるのになあ・・・」

「ここで70万円もらうより、もっともっとおおきくなりそうだから、もうちょっとつづけてみようよ」

「次は？」

「63世代目、底が64のとき、

　3×(64^3)+3×(64^2)-1=

　3×(64^3)+2×(64^2)+63×64+63」

「ふわー計算早い・・・」

「うん、えっとね、3×(64^2)から1を引くんだけど、3×のところが優先して引かれて2×になるのね。それで、分配法則とかつかって計算して・・・

3×(64^2)-1=2×(64^2)+64^2-1

　になるんだけど、64^2-1って、64×64-1でしょ。だから、63×64+63だねってこと」

「意味わかんない！疲れた！また明日ね！」

「え～まだこれから先の計算残ってるのに・・・」

　定理3.

　5を与える。(第1世代)

　次のルールに従って世代を進める操作を続ける。

　第n世代の数を底がn+1の遺伝的記法で書く。この式の中の文字のうちnとなっているものをn+1に書き換えて計算する。それが第n+1世代の値である。

　このとき、少なくとも63世代以上続き、63世代目の値は798719になる。