たくさん進んで一歩下がる

第4話 遺伝的記法

　だだだだっ

　階段を上る音が聞こえる。

「ねえはかせ！今日ね、メンデルの法則っていうのを習ったよ！

　えっと、父の遺伝子がabで、母の遺伝子がcdだったら、父の遺伝子のどちらかと母の遺伝子のどちらかをとってきて、子は、ac,ad,bc,bdのどれかになるって」

「ロクリアちゃんは何でも知ってるなあ」

「だって今日習ったことだもん！」

「じゃあ、「遺伝」ってどういう意味かわかる？」

「遺伝？う～んと、両親の性質が子に伝わることかな？」

「そうそう、そうするとさ、もともとの遠い遠い先祖の性質が、長い時間でぶわーっていろんなところに広がっていく感じがするよね」

「うん！人類みな兄弟って感じ！」

「そうそう、それで、数に関してもこんなことを考えよう

　まず、また50って数を用意するね

　50って、2^5の32より大きいから、

　2^5+18

　って書き直せるよね」

「うん！二進法の計算もそんな感じだった！」

「この式の中に、2より大きい数って5と18があるでしょ。言ってみれば50から生まれた子供だよね。この5と18もさっきと同じように書き直してみよう」

「えっと、

　5=2^2+1

　18=2^4+2

　ってこと？」

「そうそう、いいぞ。じゃあね、こう書き直したのを、2^5+18に代入すると

　2^(2^2+1)+2^4+2

　ってなるよね」

「うん！でももう50かどうかなんて全然わかんなくなっちゃったね」

「そうなんだよねえ・・・。それで、まだ2より大きい4って数があるよね。これは孫みたいな感じだけど、これも同じように書き換えると・・・」

「わかった！こうするんだね！

　2^(2^2+1)+2^2^2+2

　すごい！2と1だけで50が書けちゃった！0を使ってないあたりが少し2進法と違うね」

「そうそう。いまは1と2しか使わなかったんだけど、1と2と3を許してもいいよ」

「え～と、どうやるの？」

「たとえば、50を3まで許すと・・・

　50=3^3+23

　ここで、23=2×3^2+5だから

　50=3^3+2×3^2+5

　ここで、5=3+2だから、

　50=3^3+2×3^2+3+2

　いまここで、3と2しか出てきてないけど、1が出てこなかったのは偶然ね」

「すごい！なんだか全然50に見えない！」

　少し沈黙。

「あれ？はかせ・・・これってさ、別の表し方できない？」

「おっ？」

　変な声が出てしまった。

「あのね、たとえば50って9×5+5でしょ。これを書き直すと、

　50=3^2×(3+2)+3+2

　にならないのかなーって。

　それに、4なんて

　4=2^2=2×2=2+2

　っていろんな表し方できるよ！」

　ロクリアちゃんは本当に賢い。なかなか困ってしまうことをいつも言ってくる。

「そうだね。だから、指数を優先することにしよう。底を固定して、なるべく大きい指数を優先して使うよ」

「なるべくおおきいしすう」

「うん、つまりね1,2,3の三つの数を許したとき、一番大きい数3を底に固定するんだね。だから、3^?って形を優先しよう。

　50は3^?と3^(?+1)の間にあるわけだよね。そう思うと、この?は一つに決まるでしょ」

「えっと、3だね。3^3=27で、3^4=81だから！」

「そうそう。たとえば、2000みたいに大きい数でも、

　3^6=729≦2000<2187=3^7

　だから、まず、

　2000=2×(3^6)+542

　ってするんだ。もちろん、2^10+976とも書けるけど、指数の底は3と決まっているからこれはダメだし、8×3^5+56っていうのも、なるべく大きい指数になってないからダメ」

「なるほどー、底が3じゃないと後継者になれないんだね」

「2000はどんどん書き直すと、

　2000=2×(3^6)+542

　=2×(3^(2×3))+2×(3^5)+56

　=2×(3^(2×3))+2×(3^(3+2))+2×(3^3)+2

　となるよ。今回も2と3しか出てきてないけど、これは偶然」

「偶然にしてはよく起きるねえ」

「今回みたいに書きなおすことを、遺伝的記法って呼ぶよ」

「いでんてききほう」

「そして、1,2,3まで許したんだけど、この3のことは底って呼ぶんだ」

「てい」

「機械的に書き直せるから、書き方は一通りに定まるね。1と2と3っていうのがぶわーって広がっていく感じ、わかるかなあ」

「うん、でも、やっぱりn進法のときみたいに、どれくらいの数なのか全然わからない！っていうか、n進法の時よりもわからない！」

「そうだね・・・でもn進法とちょっと似てるよね」

「うん・・・もしかして！」

「もしかして？」

「この前やった、n+1進法にして1引く、みたいなことができる！？」

　定理2.

　2000を3を底とした遺伝的記法で書くと

　2×(3^(2×3))+2×(3^(3+2))+2×(3^3)+2

　である。

　定理3.

　全ての自然数と底に関して、遺伝的記法はただ一通りに定まる。