たくさん進んで一歩下がる

第2話 一歩進めてみる

「ねえ、はかせ、先生はいろんな進法のことをn進法って呼んでたんだけど、どういうことなのかな」

　新しいことを話そうかと思うと、突然こんな話が飛んでくる。ロクリアちゃんは、昔私が買ったよくわからない椅子の上に逆向きに座っている。本当によくわからない形状をしているので、なぜ買ったのかもよくわからない。

「うん、それはいろんな数の進法を考えることができるから、いろんな、ってところをnって置き換えたんだよね。だからさ、さっき111（イチイチイチ）をいろんな進法で読むみたいなことができるんだよね。そこで、こんなゲームを考えよう。

　111からスタートする。そして、今は2進法である。なので、十進法なら7

　次のターンは、これを3進法に読み替える。そして1を引く。

　111-1=110

　110は十進法で表すと12

　次のターンは、さらに4進法に読み替えて、1を引く。

　110-1=103

　103は十進法で表すと19

　このように、次のターンになるとき、前のn進法をn+1進法に読み替えて、1を引く」

「おもしろそう！この続きやってみてもいい？」

「うん、やってみてよ、どうなるのかな」

「ええと・・・103を5進法に読み替えてから1を引く・・・102になって大きさは27だね。どんどん大きくなるのかな」

「さあ・・・どうだろう・・・もうちょっとやってみてよ」

「えっと、紙借りるね。

　6進法・・・101・・・十進法で37

　7進法・・・100・・・十進法で49

　8進法・・・あれ・・・

　ええと、100-1=77だね。ってことは、

　8進法・・・77・・・十進法で63

　9進法・・・76・・・十進法で69

　10進法・・・75・・・もちろん75

　ちょっとつまらないから飛ばしてもいい？」

「いいよ。数え間違いに気をつけてね」

「大丈夫！n進法のnと、今の数字を足すと、いつでも85に見えてるから、

　15進法・・・70・・・十進法で105

　16進法・・・70-1・・・あれ？これどうなるの？」

「そうだねえ、16進法は、

　0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

　の16文字で表すことが多いよ。

　A=10、B=11、C=12、D=13、E=14、F=15

　だね」

「ふーん。ってことは、

　16進法・・・6F・・・十進法で111

　111になるの、なんだかおもしろい」

「う～ん、たぶんこれは偶然かな？」

「でも、これどんどん数字大きくなってきて、いつまでやればいいんだろう・・・」

「そうだね、F=15だから、いっきに15ターン進めちゃおうか

　31進法・・・60・・・十進法で186

　32進法・・・5V・・・十進法で191

　Vは22文字目のアルファベットね。ここではV=31だよ」

「そっか、いっぱい進めれば、一の位は絶対減り続けるから、十の位も減るんだ。ってことはこのあとどうなるのかな？わたしやってみるね

　31ターン進めると、

　63進法・・・50・・・十進法で315

　64進法・・・4?・・・十進法で319

　たぶんアルファベットもうなくなっちゃったから「?」を置いてみたよ！

　さっきから、計算が難しいところって、2のn乗のところだね！」

「お、良いところに気付いたね！ってことは？」

「ってことは、次は、

　128進法・・・3?・・・十進法で511

　256進法・・・2?・・・十進法で767

　512進法・・・1?・・・十進法で1023

　1023進法・・・10・・・十進法で1023

　あれ・・・？512進法と1023進法のとき、数の大きさが同じだ！！不思議！！」

「そうなんだよね。10の位が1のとき、n進法のnが1大きくなっても、数の大きさは1しか大きくなってない。それで、1の位は1減るから、結局数の大きさは変わらないんだ」

「それで、この次は・・・

　1024進法・・・?・・・十進法で1023

　1024より1小さい数になるはずだもんね」

「うんうん」

　・・・ここで不自然に10秒ほど沈黙が流れる。

「あっ！！」

　叫んだのはロクリアちゃんだ。

「2047進法になったとき、0になっちゃった！」

　ロクリアちゃんは楽しそうにノートに文字を書く

　2045進法・・・2・・・十進法で2

　2046進法・・・1・・・十進法で1

　2047進法・・・0・・・十進法で0

「どんどん大きくなったのに、0になっちゃうんだあ・・・」

「何ターンかかったかわかる？」

「2047ターンでしょ」

「ぶぶー。はじめは2進法から始めてるので、2046ターンでしたー」

「なによっ！人の揚げ足とると怒られるのよ！絶対やめなさい！」

　年甲斐にもなく、若いロクリアちゃんに説教される私。これだから私は間違いを正すのはいやなのだ。

「また明日来るからね！」

　怒ったふりをして帰るロクリアちゃん。そう、明日からが・・・グッドスタイン数列の始まりである。

　定理1.

　始めに7、二進法で111を与える。（第1世代）

　次のルールに従って世代を進める操作を続ける。

　第n世代に書かれた文字を第n+1世代ではn+2進法に読み替えてそれから1を引く

　すると、2046世代で0になる。