天国にいけるＣ言語入門 シーズン１ パソコン超初心者がゼロから東方風シューティングをつくる編 ver.0.4.15.790 RELIEF

☆☆10進数の実数を2進数で表現する コンピュータで計算をおこなった結果 コマンドプロンプト画面に近似値が表示される訳 をご紹介します。

☆☆10進数の実数を2進数で表現する　コンピュータで計算をおこなった結果　コマンドプロンプト画面に近似値が表示される訳 をご紹介します。☆☆

マックス　「2進数111.111は10進数であらわすと

2進数111.111=

1×（2の2乗）＋1×（2の1乗）＋1 ＋

1×（2の-1乗=2分の1）＋1×（2の-2乗=4分の1）＋1×（2の-3乗=8分の1）＝

4+2+1+0.5+0.25+0.125=10進数7.875

となる。

とりあえずの仕組みはわかった。

では・・・

どうよっ

2進数10.001なら・・・

2進数10.001=1×（2の1乗）+0×1+0×（2の-1乗=2分の1）+0×（2の-2乗=4分の1）+1×（2の-3乗=8分の1）

=2+0.125=2.125

と　こうなるんだなあ（＾＾）」

老人　「いいところまでいったのう。

では　逆に10進数7.875を2進数であらわすには・・・」

マックス　「もう簡単　、まず10進数7の部分は2進数111。で

いいはず。

0.5＝(2の-1乗=2分の1)=2進数0.1

0.25＝(2の-2乗=4分の1)=2進数0.01

0.125＝(2の-3乗=8分の1)=2進数0.001

0.0625＝(2の-4乗=16分の1)=2進数0.0001

・・・

となっていることを使い

7ののこりの

0.875は0.5, 0.25, 0.125 ,0.0625 ・・・を

つかって 山崩しをする

まず

0.875から

0.5(2進数0.1)をとることができるので

0.875=0.5+・・・・

0.875=2進数0.1+・・・とあらわされる。

残りの0.875－0.5＝0.375は

もう0.5でとることができないので

つぎは0.5の半分の0.25(2進数0.01)でとる。

すると

0.875=0.5+0.25+・・・

イコール

0.875=２進数0.1+２進数0.01・・・とあらわされる。

残りの0.875－0.5－0.25＝0.125は

もう0.25でとることができないので

次は

0.25の半分の0.125でとる。

すると

10進数0.875=10進数0.5+0.25+0.125とあらわされ

これを２進数表示すると

10進数0.875=10進数0.5+0.25+0.125

は

２進数0.1+２進数0.01+２進数0.001

=２進数0.111とあらわされる。

よって整数部分の10進数7=2進数111とあわせると

10進数7.875=7+0.875

=111+0.111

10進数7.875=111.111

これにて完了だ。

これは・・・やっぱり・・・

　おもったより簡単か・・・？」

マックスが２進数を理解しているのを

みて満足な様子の聖霊。

マックス　「ははは　なんだか教えてもらったな　２進数の聖霊よ。」

緑の芝生に朝日が差し込んでくる。

老人　「では0.33はどう表す?」

マックス　「まず２進数で山崩しをするのに0.5 （２進数0.1）では

大きすぎるから0.25（２進数0.01）で山をとっていく。

0.33=0.25+・・・・・

イコール

0.33=（２進数0.01）＋・・・・・

となる

残りの0.33ー0.25=0.08は

0.125（２進数0.001）より山が小さいので

山崩しに0.125はつかうことができない。

0.0625（２進数0.0001）を山崩しに使うと

0.33=0.25+0.0625+・・・・・

イコール

0.33=（２進数0.01）+（２進数0.0001）+・・・

となる

残りの0.33－0.25－0.0625=0.0175は

0.03125（２進数0.00001）より山が小さいので

山崩しに0.03125はつかうことができない。

そこで

0.03125（２進数0.00001）を2で割った

0.015625（２進数0.000001）を山崩しに使うと

0.33=0.25+0.0625+0.015625+・・・・・

イコール

0.33=（２進数0.01）+（２進数0.0001）+（２進数0.000001）・・・

となる

少しだけ残った数、0.33－0.25－0.0625－0.015625＝0.001875は

0.0078125（２進数0.0000001）

0.00390625（２進数0.00000001）

0.001953125（２進数0.000000001）

より山が小さいので

0.0078125（２進数0.0000001）

0.00390625（２進数0.00000001）

0.001953125（２進数0.000000001）

は山崩しにはつかうことができない。

そこで

0.001953125（２進数0.000000001）を２で割った

0.0009765625=(２進数0.0000000001)を0.33の山崩しに使う。

すると　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

0.33=0.25+0.0625+0.015625+0.0009765625+・・・・・

2進数表示に変換すると

0.33=（２進数0.01）+（２進数0.0001）

+（２進数0.000001）+(２進数0.0000000001)・・・

=0.0101010001+・・・

となる

？？？

こ、これは・・・

10進数0.33を2進数に変換するのに

きりがない？？？

もしかしてこれが無限小数ってやつか？

10進数0.33は２進数で表しきることができないぃ・・・

ぴくぴく・・・・・・・・

嬉びに打ち震えるマックス。

ぴくぴぴくっ・・・・・・・・

目を見開くマックス。

うおおっ～～～

0.33=0.25+・・・・・<<<<<<右辺に注目

0.33=0.25+0.0625+・・・・・=0.3125+・・・<<<一番右の右辺に注目

0.33=0.25+0.0625+0.015625=0.328125+・・・<<<一番右の右辺に注目

0.33=0.25+0.0625+0.015625+0.0009765625+・・・

=0.3291015625+・・・<<<一番右の右辺に注目

😊２進数の項を足して行く度に

無限に0.33に値が近づいていっている！！！😝

なんだ、これは

俺は・・　誰？

いったいなんなんだあああああ・・・・

0.33に0.25や0.0625とかを足してここまで近づいていけるとは・・・

（ 私も0.33を0.25や0.0625・・・などをつかって表わしていっても

だいたい0.325・・・ぐらいまでしか近似できないんだろうなあ

とおもっていました。

が、

いくらでも0.33の近くまで近似することができましたのです。（＾＾）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　solarplexussより）

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この世界に・・・

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・・・・・いっぱいの・・・・・

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ああっ２進数の歌がきこえる。

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なに　　なに　　２進数の超少女よ・・・

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なんだろうか・・・

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コンピュータは有限回で計算をやめる・・・？

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以下　マックスの仮設の仮説です。

10進数0.33を2進数で置き換える際

コンピュータは無限につづく2進数

0.33=0.0101010001+・・・を

0.33=0.010101と近似する・・・

（ここで計算をやめるというわけです）

そうかもしれんな・・・

無限に計算しても・・・

0.33＝0.01010100011010101010100111101000000110100000101110100010101010101010000001111111110000000111111000001010000001111011101101111111110000000100101010100101010100101010101000100010000010000111000001000010000001000101000000110101010101001111111000101111000001000101010100000101000100001001010100101001010100100001010101110101010100・・・・・・・

とつづいていくものな・・・

も、もしや

小数点以下の項を含む１０進数数値を

かけ合わせたり割ったりなどの計算を

プログラムを組んで実行した場合

たまに

コンパイル結果に

表示される数値が

真の値でない

近似値が

でてくるのはこれが原因か・・・

つまり

コンピュータに

1×0.03を計算させたいとする。

ソースコードで

printf("%f",1*0.03);

と記述すると

コンピュータは

2進数しか理解できないので

コンパイラが

１０進数同士の掛け算

1*0.03の

10進数1

10進数0.03

を

コンピュータにも理解できるよう

2進数に翻訳してコンピュータに渡す。

1も0.03も2進数に変換してメモリに格納してから

コンピュータ内でかけあわせるが

１０進数1は２進数1になるが

0.33を２進数に変換しようとすると

無限に0.0101010001+・・・と数がつづいてしまう。

そこで

1×0.03の計算プログラムを

コンパイルすると

まずはコンパイラが

10進数1は2進数1

に変換して

10進数0.33は

　　　🍊0.33＝0.010101のように近似された２進数数値🍊

に変換して

コンピュータのメモリに送り込む。

そして

その2進数を受け取ったコンピュータが

10進数1×0.03=

2進数1×0.010101

をおこない

10進数1×0.03=2進数1×0.010101=

2進数0.010101となる。

この２進数0.010101を再び１０進数に戻すと

0.328125となる。

だから

コマンドプロンプト画面では

0.33なはずの答えが0.328125と表示される・・・

原理的には

こういうことだったのか！

２進数の超少女よ・・・

（このような現象は古いコンパイラではよくみられましたが

最近のコンパイラはうまくつくりこまれていて

近似値が表示されるのをみかけることはあまりありません）

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どのように10進数数値を2進数数値に近似するかはコンパイラによって

違いがあります。

それを処理系依存とよびます。

🍉🍉🍉

ここでさらにもうすこし

コンピュータで計算をおこなった結果　

コマンドプロンプト画面に近似値が出てくる訳 を考察してみます。

#include <stdio.h>

int main(void)

{

float a,

a=1.05;

printf("あなたの預金額はただいま%f円です。\n",10000*a);

return 0;

}

プログラムの実行結果（EAZY　IDECの場合）

あなたの預金額はただいま10499.999523円です。

ビルド結果（Visual Studioの場合）

あなたの預金額はただいま10500.000000円です。

このプログラムのプログラムの実行結果では

（EAZY　IDECの場合）は10500.000000とならずに近似値がでていますね。

この計算では

変数aに数値1.05を代入したものに数値10000をかけあわせています。

では　次のプログラムをご覧ください

#include <stdio.h>

int main(void)

{

float a,

a=1.05;

printf("あなたの預金額はただいま%f円です。\n",10000*1.05);

return 0;

}

プログラムの実行結果（EAZY　IDECの場合）

あなたの預金額はただいま10500.000000円です。

ビルド結果（Visual Studioの場合）

エラー C2086 'float a': 再定義されました。 Project6 c:\users\solarplexuss\source\repos\project6\project6\source.cpp 6

警告 C4305 '初期化中': 'double' から 'float' へ切り詰めます。 Project6 c:\users\solarplexuss\source\repos\project6\project6\source.cpp 6

と表示されますが

プログラムを実行すると

あなたの預金額はただいま10500.000000円です。

と表示されます

このプログラムでは変数aを経由せず

直接　数値1.05を10000にかけあわせました。

その結果　（EAZY　IDECの場合）も

プログラムの実行結果に近似値はでてきませんでした。

この（EAZY　IDECの場合）のプログラムの実行結果の違いは

変数aに数値1.05を格納するかしないか　にかかわっているとおもわれます。

変数aに数値1.05を格納した場合

10進数値1.05は２進数としてコンピュータのメモリに格納されます

そのとき

10進数値1.05は２進数で表そうとしても

２進数の無限小数となるので

コンピュータのメモリに格納しきれません。

そこで

10進数値1.05は　

ある２進数の値Aで1.05に近似された状態でコンピュータのメモリに格納されます

1.05にかけあわせる

数値10000は　2進数1001110001に変換されコンピュータのメモリに格納されます

よって

２進数A(1.05に近似された数値）に

2進数1001110001（数値10000）をかけあわせたものを

%f出力変換子をつかってprintf出力表示するので

プログラムの実行結果は

あなたの預金額はただいま10500.000000円です。

でなく

あなたの預金額はただいま10499.999523円です。

となるわけです。

そして　この

%f出力変換指定子をつかって

２進数A(1.05に近似された数値）に

2進数1001110001（数値10000）をかけあわせたものを

小数点以下6桁の10進数値に変換してprintf出力表示する段階でも

小数点以下7桁の10進数値に四捨五入がおこなわれてから

　　　　　　あなたの預金額はただいま10499.999523円です。

が表示されています。

近似が何回かおこなわれているわけです。

手が　こんでいますね。

ですので　結局のところ

実際には　

10000*（かける）1.05がおこなわれているのではなく

10000*（かける）1.0499999523のようなものがおこなわれるようなことになります

ではなぜ？

変数aを経由せず

直接　数値1.05を10000にかけあわせたプログラムでは

プログラムの実行結果に近似値がでてこなかったのでしょうか。

それは

おそらくコンパイラが

1.05*10000

は明らかに答えが10500.000000となるのを判別したからではないでしょうか？

1.05*10000は10500.000000となるように設計者がコンパイラを設定したというわけです

つまり

コマンドプロンプト画面に表示される

計算結果が10500.000000となるよう

調整したのだと思われます。

それに対し

変数aを経由する場合では

とにかく

1.05を近似した2進数数値が

変数aに格納されて

変数a×10000をなんの考えもなく

もろに実行するため

プログラムの実行結果(EAZY IDEC)の場合)は

あなたの預金額はただいま10499.999523円です。

と　なったのじゃないかな😊笑？

以上　推察をくわえてみました💖。

以下　は　おまけの考察です

正しいかどうかはまだ検証していません

では

#include <stdio.h>

int main(void)

{

float a,

a=1.05;

printf("あなたの預金額はただいま%f円です。\n",a*a);

return 0;

}

が実行されると

どのようなことがおこなわれるのでしょうか？

変数aに数値1.05を格納した場合

10進数値1.05は２進数としてコンピュータのメモリに格納されます

そのとき

10進数値1.05は２進数で表そうとしても

２進数の無限小数となるので

コンピュータのメモリに格納しきれません。

そこで

10進数値1.05は　

ある２進数の値Aで1.05に近似された状態でコンピュータのメモリに格納されます

よって

２進数A(1.05に近似された数値）に

２進数A(1.05に近似された数値）をかけあわせたものを

%f出力変換子をつかってprintf出力表示するので

プログラムの実行結果は

あなたの預金額はただいま10500.000000円です。

でなく

あなたの預金額はただいま10499.998745円です。

のように表示されます

もうすこし　ここの部分を詳しく説明すると

２進数A×２進数Aの計算結果は

ある２進数値Bとなります

👆

🍓🍓🍓🍓🍓🍓

２進数Aの小数点以下の桁数が多すぎると

２進数A×２進数Aの計算結果は

小数点以下の桁数が長くなりすぎるなるので

２進数A×２進数Aの計算結果は

小さな位の数値は四捨五入のようなものがおこなわれて

短く桁数が調整されて

ある２進数値Bとなっています

２進数A×２進数Aの近似値が

ある２進数値B

となっているわけです

ですので

正確には

２進数A×２進数A=ある２進数値B

ではありません。

２進数A×２進数A

と

ある２進数値B

には誤差があるというわけです。

🍓🍓🍓🍓🍓🍓

そう

1.05が

ある２進数Aに近似されただけでなく

２進数A×２進数Aが行われると

さらに

２進数A×２進数Aは別の数値である

ある２進数値B

になっているというわけです

その　ある２進数値Bを

%f出力変換指定子をつかって

10進数値に変換してprintf出力表示したときの値が

10499.998745となるわけです。

そして　この

%f出力変換指定子をつかって

ある２進数値Bを

小数点以下6桁の10進数値に変換してprintf出力表示する段階でも

小数点以下7桁の10進数値に四捨五入がおこなわれてから

　　　　　　あなたの預金額はただいま10499.998745円です。

が表示されています。

近似が何回かおこなわれているわけです。

手が　こんでいますね。

ですので　結局のところ

実際には　

a*a=1.05かける1.05

がおこなわれているのではないのです