私の名は紅菊
➡指摘：読み方がわかりにくい。たぶんクレナイギク？
　提案：ルビを振る


産まれた時に命名された名前は、実の父親に捨てられました。
➡指摘：わかりにくい言い回し
　提案：生まれたときに授かった名前ごと、実の父に捨てられました。


紅菊とは名無しの権兵衛となり、野良猫の様に日々を生きていた私を救ってくれた、恩人が付けてくれた名前です。
➡指摘：一つの文章に要素を詰め込みすぎてわかりにくい
　提案：紅菊とは、名無しの権兵衛となり野良猫のように生きていた私を救ってくれた恩人がつけてくれた名前です。
　提案②：名無しの権兵衛となった私は、野良猫のように生きておりました。――紅菊。それは、そんな私を救ってくれた恩人からいただいた名前です。


突然ですが恩人に拾われ、私が裏社会に足を踏み入れ、テネブラファミリーに入団してから２年経った時。私の所属する組織のボスが死にました。
➡指摘：『突然ですが』がかかっているのは『私の所属するボスが死にました』なのか、それとも『こんなことを（読者に）突然言っても困惑されると思いますが』なのかわかりにくい。

提案：恩人に拾われた私が裏社会に踏み入れ、テネブラファミリーに入団してから２年たったとき、突然ですがファミリーのボスが死にました。
提案②：突然ですが、私の所属している組織のボスが死にました。私が裏社会に足を踏み入れ、テネブラファミリーに入団してから２年経ったときのことです。


ほかにもありますが、ストーリーを追いますので、これくらいで。
『読者は作者の知っていることを知らない』ことを念頭に、何も知らない読者にわかりやすく、正確につたえつつも、余分なところは削ることを意識してみてください。