これは何の意味も無い………………………瓦礫の山である

[第七話][次のデスゲーム「箱の中身はなんだろな？」]

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[第七話][次のデスゲーム「箱の中身はなんだろな？」]

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<2024年4月1日>→10時35分→/場所　地下デスゲーム会場/

<はい、そろそろ次のデスゲーム「箱の中身はなんだろな？」の

ルール説明を始めようか、このデスゲームは今から出される五問の問題

その問題の正解の部屋だと思う部屋に入って貰う正解なら普通の部屋で

次に進んで間違いであるのならばその部屋は放射能まみれかもしれないし

空気がないからしれないし毒で充満しているかもしれないが別に次には進める

まあその部屋で死ななかったらの話だがなそしてそれを五問繰り返して

生きていればそっちの勝ちで次のデスゲームに向かうことができる

ちなみに一つの問題につき回答時間は30分だで早速始めるぞ、1・スタート>

そう黒幕が言うと十個の扉が現れて

大きなスクリーンに一つの問題が表示された。

|3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592

307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951 9415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328 1609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873 1159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909の先の十桁の円周率は何？|

「これは簡単な問題だな、答えは2164201989だな」

「……最初のとは違って流石に引っ掛け問題では

ないだろうからまあそれで良いんじゃないか？」

「それが書いてある扉に入ればいいアル？」

「まあ一応もう少し考えて次に行くでござるか！」

「………………………………………………」

「それにこのデスゲームはあれが必勝法だよな？」

「ああだがそれは突然ながら黒幕も何か対策をしているはずだ」

「どんな対策をしているアルかね？」

「最初は同じで後に変わるとかでござるかね？

まあ探索を取り敢えず始めるでござるかね？」

「禿同」

そうしてここの探索と話し合いをして

2164201989と書いてある扉に入ったすると。

<正解の部屋だ、おめでとう！次の部屋に進んでくれ>

そう言われて五人は次の部屋に進んだ

そしてそこには大きなスクリーンに一つの問題が表示された。

|チェス盤が置いてある部屋があります。悪魔はこの

チェス盤の8×8のマスに無数のポーンをランダムに置いていきます。
悪魔は完全に気まぐれにポーンを置くため、

64マス全てにポーンを置いたり

逆に1つもポーンを置かなかったりするかもしれません。
なお、各マスに置けるポーンの数は1つです。

この部屋の外に幼女Aと幼女Bを待機させています。
悪魔は幼女Aだけをチェス盤の部屋に入れて、

1以上64以下の整数のどれかひとつを告げます。

幼女Aはチェス盤の上に
1. ポーンが置いていないマスに1つだけポーンを置く
2. ポーンが置いてあるマスから1つだけポーンを取り除く
のいずれかの操作を1回だけ行います。
何もしないということは許されません。

その後、悪魔は幼女Bをチェス盤の部屋に入れます。
幼女Bはチェス盤の様子を見て幼女Aに

告げられた整数を当てなければなりません。
回答のチャンスは1回のみ。

幼女たちはどのような戦略を取ればよいでしょう。
なお、幼女たちは初めのチェス盤の様子を知りません。

ただし、幼女たちはルールを知った上で

開始前に戦略を打ち合わせることができます。「正解は何？」 |

「この問題も答えも知っているがここで言う正解というのはなんだ？」

「普通に答えでいいのではないのか？」

「だけれどそれならわざわざ答えじゃ無くて正解っていうアルカ？」

「取り敢えず十個の扉に書かれている答えを見るでござるか？」

「それが正しい選択だろう！」

そうして話し合って帰納的結論と2進数と書いてある扉に入ったすると。

<不正解の部屋だ、おめでとう！頑張って次の部屋に進んでくれ！>

その部屋は数千mはあって地面と言うものは無くて核レベルで

放射能まみれで空気も無くて重力が二十倍もある終わっている

部屋であったが普通に空を蹴ってその部屋を進んで抜け出した

そうしてそこには大きなスクリーンに一つの問題が表示された。

|P≠NP予想「答えは何？」|

「これの答えを果たして黒幕は知っているのか？」

「数学上の未解決問題で有名なやつの一つですよね

黒幕はその答えを見つけることができたというのか？」

「或いは何か別の問題の答えを聞いているのかとかアル？」

「ござるな？」

「取り敢えず喋りながら探すぞ！ｲｸｿﾞ!(ｶｰﾝ)」

そうして話し合いながら探索をするも

何も見つからず適当な部屋に入ることになった。

<不正解の部屋だ、おめでとう！頑張って次の部屋に進んでくれ！>

その部屋は数千mはあってマグマ以上に熱くて部屋全体に

ありとあらゆる毒や細菌が撒かれていて部屋の重力は三十倍

ゴミ以下の部屋だったが普通にその部屋を進んで抜け出した

そうしてそこには大きなスクリーンに一つの問題が表示された。

|完全数は無限にあるのか？|

「あると思うか？この私は無いと思っているが？」

「これは無いでいいんじゃ無いんですかね？」

「アル」

「ござる」

「ﾎｲ!」

そうして念の為に話し合いながら探索をするも

何も見つからず無いの方の部屋に入ることになった。

<不正解の部屋だ、おめでとう！頑張って次の部屋に進んでくれ！>

その部屋は数千mはあってマイナス200度で純度100％の酸素で

埋め尽くされて真ん中には常人であれば恐怖によって精神が壊れる

何かがあるゴミと比べるのも失礼と言うれほどに

酷い部屋であったが普通にその部屋を進んで抜け出した

そうしてそこには大きなスクリーンに一つの問題が表示された。

|リーマン予想「答えは何？」 |

「また同じパターンだな」

「取り敢えず探してわからなければ適当に行くか！」

「アル」

「ござる」

「ｲｸｿﾞ!(ｶｰﾝ)」

そうして話し合いながら探索をするも

何も見つからず適当な部屋に入ることになった。

<不正解の部屋だ、おめでとう！頑張って次の部屋に進んでくれ！>

その部屋は数千mはあって8000mの海の同じレベルの圧などが

かかっている海水の中であり当然光も空気なども一切無い場所であり

そしてこの海全体には電気が流れていてその電気の量は実に約1億ボルト

もう本当に酷すぎて何も言えない部屋を進んで抜け出した。

<「箱の中身はなんだろな？」のクリアおめでとう>

「かぁーーーー疲れた」

「部屋の中を感知してどの部屋が安全なのかを見抜くの難しすぎるだろ」

<なかなか上手かったよ、部屋によっては水爆で爆発されたするからね>

「これって水爆の部屋と正解の部屋に違いってアルカ？」

<微妙な違いがわからなかったか？>

「わかるわけないでござるよ」

「ﾁｮｯｷﾞﾌﾟﾘｨｨｨｨｨｨｨｨｲ!」

<はい、それじゃあ次のデスゲーム

「5VS5のブラックジャック」のルール説明を始めようか>

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[解説「チェス盤が置いてある部屋があります。悪魔はこの

チェス盤の8×8のマスに無数のポーンをランダムに置いていきます。
悪魔は完全に気まぐれにポーンを置くため、

64マス全てにポーンを置いたり

逆に1つもポーンを置かなかったりするかもしれません。
なお、各マスに置けるポーンの数は1つです。

この部屋の外に幼女Aと幼女Bを待機させています。
悪魔は幼女Aだけをチェス盤の部屋に入れて、

1以上64以下の整数のどれかひとつを告げます。

幼女Aはチェス盤の上に
1. ポーンが置いていないマスに1つだけポーンを置く
2. ポーンが置いてあるマスから1つだけポーンを取り除く
のいずれかの操作を1回だけ行います。
何もしないということは許されません。

その後、悪魔は幼女Bをチェス盤の部屋に入れます。
幼女Bはチェス盤の様子を見て幼女Aに

告げられた整数を当てなければなりません。
回答のチャンスは1回のみ。

幼女たちはどのような戦略を取ればよいでしょう。
なお、幼女たちは初めのチェス盤の様子を知りません。

ただし、幼女たちはルールを知った上で

開始前に戦略を打ち合わせることができます。について」

これについては一話でも語れなくは無いけれども長くなるので割愛させて貰う

詳細が知りたい人はインターネットで上のをコピーして貼り付けて調べてろ]

[解説「P≠NP予想について」

数学上の未解決問題の一つでありWikiから引用するとこうなる

P≠NP予想（ピーエヌピー予想、英語: P is not NP）は、

計算複雑性理論（計算量理論）における予想 (未解決問題) の1つであり、

「クラスPとクラスNPが等しくない」すなわち

「クラスNPの元だがクラスPの

元でないような決定問題（判定問題）が存在する」というものである。

P対NP問題（PたいNPもんだい、英: P versus NP）と呼ばれることもある。

理論計算機科学と現代数学上の未解決問題の中でも

最も重要な問題の一つであり、2000年に

クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つとして、

この問題に対して100万ドルの懸賞金がかけられた。

クラスPとは、決定性チューリングマシンにおいて、

多項式時間で判定可能な問題のクラスであり、

クラスNPは、Yesとなる証拠（Witnessという）が与えられたとき、

多項式時間でWitnessの正当性の判定

（これを検証という）が可能な問題のクラスである。

多項式時間で判定可能な問題は、多項式時間で検証可能であるので、

P⊆NPであることは明らかであるが、

PがNPの真部分集合であるか否かについては明確ではない。

証明はまだないが、多くの研究者はP≠NPだと信じている。

そして、このクラスPとクラスNPが

等しくないという予想を「P≠NP予想」という。

仮にP＝NPであると示された場合、

多項式時間で検証可能な問題は全て

多項式時間で判定可能であることを意味し、

未だ効率の悪い指数時間アルゴリズムしかないさまざまな

分野の問題に効率的な計算アルゴリズムが与えられる可能性が示される。

しかし、多くの研究者が長年にわたって多項式時間

オーダーのアルゴリズムの開発に取り組んでいるにもかかわらず、

そのような効率的なアルゴリズムは見つかっていない。

NP問題は数千種類が知られているが、

P＝NPが示された途端にそれらが全て

多項式時間で解けるとは俄かに信じ難いことである。

更に、P≠NPだと仮定して、

何らかのNP完全問題の入力nビットについての

既知の最良の計算量がO(kn・poly(n,))であるようなときに、せめて

基底のkを改善しよう（例えばk=2を1.9や1.8等に）という試みでさえ、

ある程度進展した後に行き詰ることが経験的に知られている。

これらの観察がP≠NP予想の重要な根拠の一つとなっている。

一方、P＝NPと予想する研究者も皆無ではない。

ドナルド・クヌースはその一人であり、次のような論拠を挙げている[1]。

* P≠NPを証明する試みはことごとく失敗している（後述の#歴史参照）

NP問題をnMステップで解くアルゴリズムがあるとする。

このMは例えば10↑↑↑↑3のような有限ながらも巨大な値を取れる。

するとnビットの入力についてnM個の論理演算や加算演算、

シフト演算などを実施する途轍もない種類のアルゴリズムが考えられる訳で、

これが全て失敗するとは信じ難い

但し彼は同時に次のようにも述べている。

「だが私が最も言いたいのは、たとえP＝NPが証明できたとしても、

それが実用上役に立つとは思えないということだ。

何故ならそうした証明はまず間違いなく非構成的だろうからだ。

Mは存在すると思うが、

人類がその値を知ることは決してないだろうとも思う。

それどころかMの上界を求めることすら出来ないのではないか」[1]

彼は存在が証明されているが実装は現実的に不可能と

考えられているアルゴリズムを例として複数列挙している。]

[解説「完全数について」

数学上の未解決問題の一つでありWikiから引用するとこうなる

完全数（かんぜんすう、英: perfect number）とは、

自分自身が自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。

完全数の最初の4個は 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)、

496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248)、

8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +

64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064) である。

「完全数」は「万物は数なり」と考えた

ピタゴラスが名付けた数の一つであることに由来する[1]が、

彼がなぜ「完全」と考えたのかについては

何も書き残されていないようである[1]。

中世の『聖書』の研究者は、「6 は『神が世界を創造した（天地創造）6日間』、

28 は『月の公転周期』で、これら2つの数は

地上と天界における神の完全性を象徴している」[1]と考えたとされる[2]。

古代ギリシアの数学者は他にもあと

2つの完全数 (496, 8128) を知っていた[1]以来、完全数は

どれだけあるのかの探求が2500年以上のちの現在まで続けられている。

完全数の定義は、正の約数の総和が

自分自身の2倍に等しいことと同値である。

すなわち、N が完全数であるとは、

約数関数 σ に対して σ(N) = 2N が成り立つことであると表現できる。

また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。

完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀ごろのユークリッドである。

彼は『原論』（第9巻、命題36）で、

「2n − 1 が素数ならば、2n−1(2n − 1) は完全数である」

ということを証明した[注釈 1]。

2n − 1 で表される数をメルセンヌ数といい、

それが素数である場合をメルセンヌ素数という。

古代から、6、28、496、8128の4つの数が

完全数であることは知られており、ゲラサの

ニコマコスの『算術入門』には4つの完全数に関する記述が存在する[3]。

ユークリッドの公式は偶数の完全数しか生成しないが、

逆に偶数の完全数が全て 2n−1(2n − 1) の形で書けるか

どうかは18世紀までは未解決であった。レオンハルト・オイラーは

偶数の完全数がこの形に限ることを証明した[4][5][注釈 2]。

メルセンヌ素数の探索は、エドゥアール・リュカと

デリック・ヘンリー・レーマー（英語版）によって

メルセンヌ数が素数であるかどうかの効率的な判定法が考案され、

1950年代からコンピュータが使われるようになる。

現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われていて、

2022年2月現在で判明している最大の

メルセンヌ素数は2486万2048桁の数である[7]。

2021年8月現在発見されている

完全数はメルセンヌ素数と同じく51個である。

紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、

「偶数の完全数は無数に存在するか？」

「奇数の完全数は存在するか？」という問題は未解決である。]

[解説「リーマン予想について」

数学上の未解決問題の一つでありWikiから引用するとこうなる

数学においてリーマン予想（リーマンよそう、英: Riemann hypothesis,

独: Riemannsche Vermutung、略称:RH）は、

リーマンゼータ関数の零点が、負の偶数と、実部が1/2の複素数に

限られるという予想である。リーマン仮説とも。

ドイツの数学者ベルンハルト・リーマン(1859)により提唱されたため、

その名称が付いている。この名称は密接に関連した

類似物に対しても使われ、例えば有限体上の曲線のリーマン予想がある。

リーマンのゼータ関数 ζ(s) (s =1/2+ ix) の実部（赤線）と虚部（青線）。

最初の非自明な零点が Im s = x = ±14.135, ±21.022, ±25.011 に現れる。

臨界線(s =1/2+ ix)上を移動する点の軌跡をゼータ関数によって変換したもの。

この軌跡は繰り返し原点を通る曲線になる。

直線の実部を変化させたときゼータ関数が描く軌跡の変化。

実部が1/2のときに上記と同じく軌跡は繰り返し原点を通る曲線になる。

リーマン予想は素数の分布についての結果を含んでいる。

適切な一般化と合わせて、純粋数学において

最も重要な未解決問題であると考える数学者もいる[1]。

リーマン予想は、ゴールドバッハの予想とともに、

ヒルベルトの23の問題のリストのうちの第8問題（英語版）の一部である。

クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の1つでもある。

リーマンゼータ関数 ζ(s) は 1 を除くすべての複素数 s で定義され、

複素数の値をとる関数である。その零点

（つまり、関数値が 0 となる s）のうち、

負の偶数 s = −2, −4, −6, … はその自明な零点と呼ばれる。

しかしながら、負の偶数以外の零点も存在し、

非自明な零点と呼ばれる。リーマン予想は

この非自明な零点の位置についての主張である：

リーマンゼータ関数のすべての非自明な零点の実部は1/2である。

いいかえると、リーマンゼータ関数のすべての非自明な零点は、

複素数平面上の直線1/2+ i t（t は実数）上にある。

ここで i は虚数単位である。この直線を臨界線 (英語: critical line) という。

リーマン予想に関する非専門の本が何冊か存在する[注 1]。

リーマンは素数の分布に関する研究を行っている際に

オイラーが研究していた以下の級数をゼータ関数と名づけ、

解析接続を用いて複素数全体への拡張を行った。

ゼータ関数を次のように定義する

（複素数 s の実部が 1 より大きいとき、この級数は絶対収束する）。

ζ(s)=∑n=1∞1ns=1+12s+13s+14s+⋯.

{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }

{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac

{1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots .}

1859年にリーマンは自身の論文の中で、複素数全体 (s ≠ 1)

へゼータ関数を拡張した場合、ζ(s) の自明でない零点 s は、

全て実部が1/2の直線上に存在する。と予想した。

ここに、自明な零点とは負の偶数 (−2, −4, −6, …) のことである。

自明でない零点は 0 < Re s < 1[注 2] の範囲にしか存在しないことが

知られており（下記の歴史を参照）、この範囲を臨界帯という。

なお素数定理はリーマン予想と同値な近似公式[注 3]からの帰結であるが、

素数定理自体はリーマン予想が真であるという仮定がなくとも証明できる。

この注意は歴史的には重要なことで、

実際リーマンがはっきりとは素数定理を証明できなかった理由は

リーマン予想の正否にこだわっていたためであると思われている

（素数分布とゼータ関数との関係は下記#素数の分布や、

リーマンゼータ関数、素数定理、リーマンの素数公式の項を参照のこと）。

現在もリーマン予想は解決されていない。

数学における最も重要な未解決問題の一つである。

リーマンのゼータ関数を特殊な場合に含む

L関数に対しても同様の予想を考えることができ、

これを一般化されたリーマン予想

（Generalised Riemann Hypothesis：GRHと略される）と呼んでいる。

最近では、虚部が小さい方から10兆個

(X. Gourdon and P. Demichel, 2004) までの複素零点は

すべてリーマン予想を満たすことが計算されており、

現在までにまだ反例は知られていない。

現在では多くの数学者がリーマン予想は

正しいと考えているようである[注 4]。

しかし無限にある零点からみれば有限に過ぎない

10兆個程度の零点の例などは零点分布の

真の姿を反映するには至らないとして、

この計算結果に対して慎重な数学者もいる。

歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っている人物はいた[5]。

リーマンゼータ関数

リーマンゼータ関数は実部が 1 よりも

大きい複素数 s に対して絶対収束無限級数

ζ(s)=∑n=1∞1ns=11s+12s+13s+⋯

{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }

{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}

{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }によって定義される。

レオンハルト・オイラー（リーマンの生まれる40年前に亡くなった）は

この級数がオイラー積

ζ(s)=∏p:prime11−p−s=11−2−s⋅11−3−s⋅11−5−s⋅11−7−s⋯11−p−s⋯

{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{ prime}}}

{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}

{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}

{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }に等しいことを示した、

ここで無限積はすべての素数 p を走り、

再び実部が 1 より大きい複素数 s に対して収束する。

オイラー積の収束は、どの因子も零点を持っていないから、

ζ(s) がこの領域において零点を持たないことを示している。

リーマン予想はこの級数とオイラー積の

収束領域の外側での零点について議論する。

予想が意味をなすために、関数を解析接続して、

すべての複素数 s に対して有効な定義を与える必要がある。

これは以下のようにディリクレのエータ関数（英語版）の言葉で

ゼータ関数を表すことによってできる。

s の実部が 1 よりも大きければ、ゼータ関数は

(1−22s)ζ(s)=∑n=1∞(−1)n+1ns=11s−12s+13s−⋯

{\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}

\right)\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }

{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}

{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots }を満たす。

しかしながら、右辺の級数は s の実部が 1 より大きいときだけでなく、

より広く s の実部が正のときにいつでも収束する。したがって、

この代わりの級数はゼータ関数を Re s > 1 からより大きい領域 Re s > 0 に、

1 −2/2sの零点を除いて、拡張する（en:ディリクレのエータ関数を参照）。

ゼータ関数はこれらの除かれた値にも極限を取ることによって拡張でき、

s = 1 における一位の極を除いて、

正の実部を持つすべての s の値に対して有限値を与える。

帯 0 < Re s < 1 において、ゼータ関数は関数等式

ζ(s)=2sπs−1sin(πs2)Γ(1−s)ζ(1−s)

{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}

\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)}を満たす。

すると残りのすべての零でない複素数 s に対して ζ(s) を、

この方程式が帯の外側でも成り立つと仮定し、

ζ(s) は s の実部が正でないときに方程式の右辺に

等しいとすることで定義できる。s が負の偶数のとき、

因子 sin(πs/2) が消えるから ζ(s) = 0 である。

これらがゼータ関数の自明な零点である

（s が正の偶数のときにはこの議論は適用しない、

なぜならば正弦関数の零点はガンマ関数が

負の整数の引数を取るからその極によって打ち消されるからである）。

値 ζ(0) = −+1/2は関数等式からは定まらないが、

s が 0 に近づくときの ζ(s) の極限値である。

関数等式はまた、ゼータ関数が自明な零点の他には

実部が負の零点を持たないことも意味しており、

したがってすべての非自明な零点は、

s の実部が 0 と 1 の間の臨界帯 (critical strip) にある。]

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