巨大数で遊ぼう！ ～Fourth season～

第９話 大小関係

　■■■■■■■■

　■　大小関係　■

　■■■■■■■■

　■FGH判定

　📌　任意のコア数(❛ᴗ❛)を𝓐または𝓑と置く。

　　　このとき、急増加関数への𝓐と𝓑の代入について、

　　　𝙁.𝙂.𝙃 [𝓐 ; 𝐧]=𝒶

　　　𝙁.𝙂.𝙃 [𝓑 ; 𝐧]=𝒷

　　　としたとき、いかなる𝓐と𝓑についても、𝒶>𝒷となる任意の𝐧の個数が𝓐>𝓑であれば、コア数の大きさも𝓐>𝓑である。

　📢　このFGH判定のみで大小関係を決められる表記を１型表記とする。FGH判定のみで判定できない最小の表記は(3,(3,5),3)である。

　■基礎判定１

　❶コア数と素冪数の大小関係

　📌　最小の数がPᵪ¹である。

　📌　Pᵪ¹の有限個の和で到達できない最小の数がPᵪ²である。

　📌　Pᵪ²の有限個の和で到達できない最小の数が(Pᵪ¹)である。

　📌　(Pᵪ¹)は最小の「𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬ」の要素である。

　📌　如何なる(❛ᴗ❛)も「𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬ」の要素である。

　📌　如何なる(❛ᴗ❛)についても(❛ᴗ❛)よりも大きな最小の数は(❛ᴗ❛)Pᵪ²である。

　❷コア数の項にある付帯コア数の大小関係

　📌　𝓨₀の要素としてPᵪ¹をもつ番地のコア数について、その項にPᵪ₊₁¹の番地の数が存在するのであれば、そのPᵪ₊₁¹よりも大きな最小の数はᴱˣ(𝐩,Pᵪ₊₁¹)である。

　📌　𝓨₀の要素としてPᵪ¹をもつ番地のコア数について、その項に任意のᴱˣ(…𝔂,𝔂,𝓒...Pᵪ₊₁ʷ)が存在するのであれば、そのᴱˣ(…𝔂,𝔂,𝓒...Pᵪ₊₁ʷ)よりも大きな最小の数はᴱˣ(…𝔂,𝔂⊕Pᵪ²,𝓒...Pᵪ₊₁ʷ)である。

　📢　このFGH判定と基礎判定１のみで大小関係を決められる表記を２型表記とする。FGH判定と基礎判定１のみで判定できない最小の表記は(3,(3,3,5),3)である。

　■基礎判定２

　❸付帯コア数と付帯数と大小関係

　📌　付帯コア数の第１項にある任意の数を𝓐または𝓑と置き付帯数と命名する。

　📌　任意のᴱˣ(…𝔂₀,𝓐)とᴱˣ(…𝔂₁,𝓑)について、

　　　如何なる…𝔂₀と…𝔂₁においても、

　　　𝓐>𝓑であればᴱˣ(…𝔂₀,𝓐)>ᴱˣ(…𝔂₁,𝓑)である。

　📌　𝓨₀の要素としてPᵪ¹をもつ番地のコア数について、その項に付帯コア数が存在するのであれば、その付帯コア数の最小の付帯数はPᵪ₊₁¹である。

　📌　任意の付帯数𝓔よりも大きな最小の付帯数は、𝓔の保存型のうち、𝓔よりも大きな番地の、最小の番地の数である。

　📌　任意の付帯数𝓔の如何なる保存型でも到達できない最小の数は、𝓔の保存型である数のうち最小の数を𝓒...Pᵪʷとするなら、𝓒...Pᵪʷ⊕Pᵪ²である。

　　🔰付帯数

　　5<7<11<...∞<

　　25<49<121<...∞<

　　125<343<1331<...∞<

　　:∞

　　(5)<(7)<(11)<...∞<

　　(5)25<(7)49<(11)121<...∞<

　　(5)125<(7)343<(11)1331<...∞<

　　:∞

　　(5)(5)<(7)(7)<(11)(11)<...∞<

　　:∞

　❹付帯コア数の堰数と大小関係

　📌　付帯コア数の「付帯数と基底数」以外の数を堰数と命名する。また、

　📌　𝓨₀の要素としてPᵪ¹をもつ番地のコア数について、その項に付帯コア数が存在するのであれば、その付帯コア数の最小の堰数はPᵪ₊₁¹である。

　📌　Pᵪʷよりも大きな最小の堰数はᴱˣ(𝐩,Pᵪʷ)である。

　📌　如何なるᴱˣ(…𝔂,𝔂,𝓒...Pᵪʷ)についても、ᴱˣ(…𝔂,𝔂,𝓒...Pᵪʷ)よりも大きな最小の堰数はᴱˣ(…𝔂,𝔂⊕Pᵪ²,𝓒...Pᵪʷ)である。

　📌　如何なるᴱˣ(…𝔂,𝔂,𝓒...Pᵪʷ)でも到達できない最小の堰数はPᵪ₊₁ʷである。

　📌　如何なるPᵪʷでも到達できない最小の堰数はPᵪʷ⁺¹である。

　　🔰堰数

　　5<ᴱˣ(…𝔂,5)<7<ᴱˣ(…𝔂,7)<11<ᴱˣ(…𝔂,11)<...∞<

　　25<ᴱˣ(…𝔂,25)<49<ᴱˣ(…𝔂,49)<121<ᴱˣ(…𝔂,121)<...∞<

　　125<ᴱˣ(…𝔂,125)<343<ᴱˣ(…𝔂,343)<1331<ᴱˣ(…𝔂,1331)<...∞<

　　:∞

　　(5)<ᴱˣ(…𝔂,(5))<(7)<ᴱˣ(…𝔂,(7))<(11)<ᴱˣ(…𝔂,(11))<...∞<

　　(5)25<ᴱˣ(…𝔂,(5)25)<(7)49<ᴱˣ(…𝔂,(7)49)<(11)121<ᴱˣ(…𝔂,(11)121)<...∞<　

　　(5)125<ᴱˣ(…𝔂,(5)125)<(7)343<ᴱˣ(…𝔂,(7)343)<(11)1331<ᴱˣ(…𝔂,(11)1331)<...∞<　

　　:∞

　　(5)(5)<ᴱˣ(…𝔂,(5)(5))<(7)(7)<ᴱˣ(…𝔂,(7)(7))<(11)(11)<ᴱˣ(…𝔂,(11)(11))<...∞<

　　:

　📢　FGH判定と基礎判定１と基礎判定２をあわせた判定を「みくみく判定」とする。(3,(3,3,5),3)以上の表記は標準判定と以下の「つよみく判定」をあわせて行う。以下はでは「つよみく順序数」の「単極限数の大小関係」を参考にした。

　■特別判定

　📌　記号「…𝔂」を「…𝓲」または「…𝓳」と記す。

　📌任意のᴱˣ(…𝓲,𝓐)とᴱˣ(…𝓳,𝓐)であるような付帯コア数の比較は以下のようにする。付帯数は等しいので(…𝓲)と(…𝓳)で比較する。

　❶　「…𝓲」と「…𝓳」の項にある数の中で最大の数を比較する。

　❷　それが１型表記または２型表記であれば最大の数は「みくみく判定」で決まる。「みくみく判定」できない表記であれば、その表記について「つよみく判定」を行う。

　❸　上記の繰り返しにより、どちらかの数が大きいなら、大きい方の数を持っている方が大きい。

　❹　「…𝓲」と「…𝓳」の項にある数の中で最大の数が同じであるとする。この数を𝓠と置く。

　❺　𝓠がある項の数を比較する。どちらかが多いなら多い方が大きい。

　❻　𝓠の個数が同じであるとする。

　❼　写像ℳ₁₇とℳ₁₈を以下に定義する。𝕊₁₇を文字列⁅…𝓲⁆と文字「,」と正整数の「十進記数法」のみの集合とし、𝕊₁₈文字列⁅…𝓳⁆と文字「,」と正整数の「十進記数法」のみの集合とし、

　　　🍊　

　　　ℳ₁₇:ℤ₊→𝕊₁₇

　　　𝐚⟼ℳ₁₇[𝐚]

　　　ℳ₁₇[1] = ⁅…𝓲⁆₁,𝓠　

　　　ℳ₁₇[𝐮] = ℳ₁₇[𝐮-1], ⁅…𝓲⁆ᵤ,𝓠

　　　文字列「─𝓲」をある正整数𝐚で ℳ₁₇[𝐚]と表せる文字列とする。

　　　🍊　

　　　ℳ₁₈:ℤ₊→𝕊₁₈

　　　𝐚⟼ℳ₁₈[𝐚]

　　　ℳ₁₈[1] = ⁅…𝓳⁆₁,𝓠　

　　　ℳ₁₈[𝐮] = ℳ₁₈[𝐮-1], ⁅…𝓳⁆ᵤ,𝓠

　　　文字列「─𝓳」をある正整数𝐚で ℳ₁₈[𝐚]と表せる文字列とする。

　❽　このとき、

　　　文字列「…𝓲」を𝓠で区切った付帯コア数を(─𝓲,…𝓲ₐ₊₁)

　　　文字列「…𝓳」を𝓠で区切った付帯コア数を(─𝓳,…𝓳ₐ₊₁)

　　　とし、それぞれの列を辞書式順序で比較し、大きい方の列に対応する方が大きい。

参照元

https://kakuyomu.jp/works/16816927861604304621/episodes/16816927861740399362