巨大数で遊ぼう！ ～Fourth season～

第７話 基本列で使う記号と概念

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　■　基本列で使う記号と概念　■

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　■「 𝐩 」　: 素数　「𝐩」は基底数である。

　■「 …𝐩 」　: ０個以上の𝐩　厳密な定義は以下の写像ℳ₉で定める。𝕊₉を文字⁅𝐩⁆と文字「,」のみからなる文字列の集合とし、

　　　　🍊

　　　　ℳ₉:ℕ→𝕊₉

　　　　𝐧⟼ℳ₉[𝐧]

　　　　ℳ₉[0] = |空欄|

　　　　ℳ₉[𝐞] = ℳ₉[𝐞-1],⁅𝐩⁆

　　　　このとき、

　　　　,…𝐩 = ℳ₉[𝐧]を満たす非負整数𝐧が存在するような文字列「…𝐩」が「０個以上の𝐩」である。

　■「 𝐬 」　: 後続数　 「𝐬」は基底数である。

　■「 𝐥 」　: 極限数　 「𝐥」は基底数である。

　■「 𝔁 」　: 任意の数　「𝔁」は基底数である。２個以上の𝔁は等しくとも等しくなくともよい。

　■「 …𝔁 」　: ０個以上の𝔁　厳密な定義は以下の写像ℳ₁₀で定める。𝕊₁₀を文字⁅𝔁⁆と文字「,」のみからなる文字列の集合とし、

　　　　🍊

　　　　ℳ₁₀:ℕ→𝕊₁₀

　　　　𝐧⟼ℳ₁₀[𝐧]

　　　　ℳ₁₀[0] : |空欄|

　　　　ℳ₁₀[𝐞]=⁅𝔁⁆,ℳ₁₀[𝐞-1]

　　　　このとき、

　　　　…𝔁,= ℳ₁₀[𝐧]を満たす非負整数𝐧が存在するような文字列「…𝔁」が「０個以上の𝔁」である。

　　　　ただし「𝔁」が０個ならば、つまり、第１項が最終項になるのであれば「１個以上の𝔁」とする。厳密には、写像の定義の「ℳ₁₀[0] : |空欄|」を「ℳ₁₀[0]=𝔁,」に書きかえた物ものとする。

　■「𝔂 」　: 付帯コア数の条件を満たす任意の数。

　■「…𝔂 」　: 「 …𝔁 」と同じ機能。

　■「(❛ᴗ❛)」　: コア数（付帯コア数を含む）

　■「 𝓒...□ 」　: 「𝓒...□」の「□」にある要素を除いた、０個の(❛ᴗ❛)、もしくは(❛ᴗ❛)の有限個の和。この「𝓒...□」の「(❛ᴗ❛)」は全て自在である。ただし、「𝓒...(❛ᴗ❛)」の文字列の要素の任意の如何なる「(❛ᴗ❛)₁(❛ᴗ❛)₀」についても「(❛ᴗ❛)₁≧(❛ᴗ❛)₀ 」である。 厳密な定義は以下の写像ℳ₁₁で定める。𝕊₁₁を文字列 ⁅(❛ᴗ❛)⁆ のみからなる文字列の集合とし、

　　　　🍊

　　　　ℳ₁₁:ℕ→𝕊₁₁

　　　　𝐧⟼ℳ₁₁[𝐧]

　　　　ℳ₁₁[0] = □ 　

　　　　ℳ₁₁[𝐞] = ⁅(❛ᴗ❛)⁆ ℳ₁₁[𝐞-1] 　

　　　　このとき、

　　　　𝓒...□ = ℳ₁₁[𝐧]を満たす非負整数𝐧が存在するような文字列「 𝓒...□」が「０個の(❛ᴗ❛)、もしくは(❛ᴗ❛)の有限個の和」である。

　■「 ━ 」　: コア数の構造として許容される文字列。

　■「─𝓌─」　: 基本列を定める定義の文字列

　■「ᴱˣ(─𝓌─)」　: 付帯コア数　「ᴱˣ」のない「(─𝓌─)」は付帯コア数ではない。

　■「ᴮᴹ」　: “□ …▫ᴮᴹ” 「𝐵𝑂𝑂𝐾𝑀𝐴𝑅𝐾」である。文字列に添える目印。改行等して“□ …▫ᴮᴹ” ならば「□ …▫」の詳細を記述する場合に用いる。

　■「𝓟」　: 𝐩より大きな素数

　■「𝓞」　: 𝐩より大きな番地の数

　■「ᴱˣ(🥑)」　: 𝓨ᴸᴵᴹᴵᵀの要素である付帯コア数

　■「ᴱˣ(─)」　: 　文字列⁅ᴱˣ(…𝔂,𝐬,𝓟)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(…𝔂,𝐩,𝓟)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(…𝔂,𝐥,𝓟)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(…𝔂,𝐬,𝓞₁)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(…𝔂,𝐩,𝓞₁)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(…𝔂,𝐥,𝓞₁)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(𝐩,𝓞₁)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(🥑)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(𝐩,𝓟ᵪʷ)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(𝐩,ᴱˣ(𝐩,𝓟ᵪʷ))⁆ または文字列⁅ᴱˣ(…𝔂,𝐬,🍌)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(𝐩,ᴱˣ(…𝔂,𝐬,🍌))⁆ または文字列⁅ᴱˣ(…𝔂,𝐥,🍌)⁆ または文字列⁅ᴱˣ(𝐩,ᴱˣ(…𝔂,𝐥,🍌))⁆

　■「𝐬⊖1」　: 𝐬を𝓒...Pᵪʷとしたとき𝓒...Pᵪʷ⁻¹

　■「𝐩⊕1」　: 𝐩をPᵪ¹としたときPᵪ₊₁¹

　■「𝓞₁⊖1」　: 𝓞₁ をPᵪʷとしたときPᵪ₋₁ʷ

　■「𝓞₀⊕1」　: 𝓞₀ をPᵪʷとしたときPᵪ₊₁ʷ

　■「𝓞₀⊕Pᵪ¹」　: 𝓞₀をPᵪʷとしたときPᵪʷ⁺¹

　■「 ƒ 」　: 写像の記号。全て部分写像である。

　■「 𝙁.𝙂.𝙃 」　: 写像の記号。全て部分写像である。

　■「 𝙁.𝙂.𝙃 ᴺᵉˢᵗ 」　: 写像の記号。全て部分写像である。

　■「𝕊₁₂」　:文字「🍓」と文字「,」と正整数の「十進記数法」のみからなる文字列の集合。

　■「…₂Λ」　:２個以上の項が続く。厳密な定義は写像ℳ₁₂で定める。

　　　🍊

　　　ℳ₁₂:ℤ₊→𝕊₁₂

　　　𝐚⟼ℳ₁₂[𝐚 ⊗２]

　　　ℳ₁₂[1] = ⁅🍓⁆ ₁　

　　　ℳ₁₂[𝐮] = ℳ₁₂[𝐮-1], ⁅🍓⁆ ᵤ

　　　❶　コア数であれば、

　　　🍓₁:基底数よりひとつ大きな番地の数

　　　🍓ᵤ:コア数の条件を満たす様な任意の数

　　　❷　付帯コア数であれば、

　　　🍓₁:基底数より大きな番地の数

　　　🍓ᵤ:付帯コア数の条件を満たす様な任意の数

　　　このとき、

　　　…₂Λ= ℳ₆₀[𝐚 ⊗２]を満たす正整数𝐚が存在するような文字列「…₂Λ」が「２個以上の項が続く」である。

　■「…₀Λ」　:０個以上の項が続く。厳密な定義は写像ℳ₁₃で定める。

　　　🍊

　　　ℳ₁₃:ℕ→𝕊₁₂

　　　𝐧⟼ℳ₁₃[𝐧 ⊗２]

　　　ℳ₁₃[0] = |空欄|

　　　ℳ₁₃[𝐞] = ⁅🍓⁆ₑ, ℳ₁₃[𝐞-1]

　　　❶　コア数であれば、

　　　🍓₁:基底数よりひとつ大きな番地の数

　　　🍓ₑ:コア数の条件を満たす様な任意の数

　　　❷　付帯コア数であれば、

　　　🍓₁:基底数より大きな番地の数

　　　🍓ₑ:付帯コア数の条件を満たす様な任意の数

　　　このとき、

　　　…₀Λ, = ℳ₁₃[𝐧 ⊗２]を満たす非負整数𝐧が存在するような文字列「…₂Λ」が「０個以上の項が続く」である。

　■「…₀λ」　:０個以上の項が続く。厳密な定義は写像ℳ₁₄で定める。

　　　🍊

　　　ℳ₁₄:ℕ→𝕊₁₂

　　　𝐧⟼ℳ₁₄[𝐧 ⊗２]

　　　ℳ₁₄[0] = |空欄|

　　　ℳ₁₄[𝐞] = ⁅🍓⁆ₑ,ℳ₁₄[𝐞-1]

　　　❶　コア数であれば、

　　　🍓₁:「𝓟」または「ᴱˣ(─)」より大きな数。

　　　🍓ₑ:コア数の条件を満たす様な任意の数

　　　❷　付帯コア数であれば、

　　　🍓₁:「𝓞₁」または「ᴱˣ(─)」より大きい数。

　　　🍓ₑ:付帯コア数の条件を満たす様な任意の数

　　　このとき、

　　　…₀λ,=ℳ₁₄[𝐧 ⊗２]を満たす非負整数𝐧が存在するような文字列「…₀λ」が「０個以上の項が続く」である。

　■「Δ₂…」　:２個以上の項が続く。厳密な定義は写像ℳ₁₅で定める。

　　　🍊

　　　ℳ₁₅:ℤ₊→𝕊₁₂

　　　𝐚⟼ℳ₁₅[𝐚 ⊗２]

　　　ℳ₁₅[1] = ⁅🍓⁆₁

　　　ℳ₁₅[𝐮] = ⁅🍓⁆ᵤ,ℳ₁₅[𝐮-1]

　　　❶　コア数であれば、

　　　🍓ₐ: 𝐚 が奇数なら「𝐩」または「𝐬」または「𝐥」と同じ番地の素数。

　　　🍓ₐ: 𝐚 が偶数なら基底数よりひとつ大きな番地の数。ただし以下の条件を満たす。

　　　　・条件　如何なる🍓ₐと🍓ₐ₊₂についても🍓ₐ≦🍓ₐ₊₂である。

　　　❷　付帯コア数であれば、

　　　🍓ₐ: 𝐚 が奇数なら「𝐩」または「𝐬」または「𝐥」と同じ番地の素数。

　　　🍓ₐ: 𝐚 が偶数なら基底数より大きな番地の数。ただし以下の条件を満たす。

　　　　・条件　如何なる🍓ₐと🍓ₐ₊₂についても🍓ₐ≦🍓ₐ₊₂である。

　　　このとき、

　　　Δ₂… = ℳ₁₅[𝐚 ⊗２]を満たす正整数𝐚が存在するような文字列「Δ₂…」が「２個以上の項が続く」である。

　■「Δ₀…」　:０個以上の項が続く。厳密な定義は写像ℳ₁₆で定める。

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　　　ℳ₁₆:ℕ→𝕊₁₂

　　　𝐧⟼ℳ₁₆[𝐧 ⊗２]

　　　ℳ₁₆[0] = |空欄|

　　　ℳ₁₆[𝐞] = 🍓ₑ,ℳ₁₆[𝐞-1]

　　　❶　コア数であれば、

　　　🍓ₐ: 𝐚 が奇数なら「𝐩」または「𝐬」または「𝐥」と同じ番地の素数。

　　　🍓ₐ: 𝐚 が偶数なら基底数よりひとつ大きな番地の数。ただし以下の条件を満たす。

　　　　・条件　如何なる🍓ₐと🍓ₐ₊₂についても🍓ₐ≦🍓ₐ₊₂である。

　　　　・条件　🍓₁は「𝓟₀」または「ᴱˣ(─)」があるならば、「𝓟₀」または「ᴱˣ(─)」またはと等しいか、「𝓟₀」または「ᴱˣ(─)」より大きい。

　　　❷　付帯コア数であれば、

　　　🍓ₐ: 𝐚 が奇数なら「𝐩」または「𝐬」または「𝐥」と同じ番地の素数。

　　　🍓ₐ: 𝐚 が偶数なら基底数より大きな番地の数。ただし以下の条件を満たす。

　　　　・条件　如何なる🍓ₐと🍓ₐ₊₂についても🍓ₐ≦🍓ₐ₊₂である。

　　　　・条件　🍓₁は「𝓟」または「ᴱˣ(─)」または「𝓞₁」があるならば、「𝓟」または「ᴱˣ(─)」または「𝓞₁」と等しいか、「𝓟」または「ᴱˣ(─)」または「𝓞₁」より大きい。

　　　このとき、

　　,Δ₀… = ℳ₁₆[𝐧 ⊗２]を満たす非負整数𝐧が存在するような文字列「Δ₀…」が「０個以上の項が続く」である。

　■「🍌」　: 𝕊₁₇を文字列 ⁅𝓟ᵪʷ⁆ と文字列 ⁅…𝔂⁆ と文字文字列「ᴱˣ」と文字「(」と文字「)」と文字「,」と正整数の「十進記数法」のみからなる文字列の集合とし、以下の写像ℳ₁₇で記号「🍌」を定める。

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　　　ℳ₁₇:ℕ→𝕊₁₇

　　　𝐧⟼ℳ₁₇[𝐧]

　　　ℳ₁₇[0] = ⁅𝓟ᵪʷ⁆

　　　ℳ₁₇[𝐞] = ᴱˣ(⁅…𝔂⁆ₑ,ℳ₁₇[𝐞-1])

　　　このとき、

　　　ある正整数𝐧におけるℳ₁₇[𝐧]の値域の要素が記号「🍌」である。