巨大数で遊ぼう！ ～Fourth season～

第４話 コア数

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　■　コア数　■

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　　📢　ここでは文字「𝓐」と文字「𝓑」を任意の「文字列」とする。

　■コア数の定義

　　📌　任意の番地のPᵪ²の有限個の和で到達できない数のうち𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬの要素である数がコア数である。

　■コア数の表記の構成「𝒜表記」

　　コア数はℬ表記で記述される。そのℬ表記を構成するために、まず𝒜表記を構成する。𝕊₇を文字列⁅ Pᵪʷ ⁆と文字「,」のみからなる文字列の集合とし、写像ℳ₇を以下に定義する。

　　🍊

　　ℳ₇:ℤ₊→𝕊

　　𝐚⟼ℳ₇[𝐚]

　　ℳ₇[1] = ⁅Pᵪʷ⁆　

　　ℳ₇[𝐮] = ℳ₇[𝐮-1],⁅Pᵪʷ⁆

　　🔰展開例

　　・ℳ₇[4]=

　　　ℳ₇[3],Pᵪʷ=

　　　ℳ₇[2],Pᵪʷ,Pᵪʷ=

　　　ℳ₇[1],Pᵪʷ,Pᵪʷ,Pᵪʷ=

　　　Pᵪʷ,Pᵪʷ,Pᵪʷ,Pᵪʷ

　　📌　𝒜表記は、ℳ₇の値域の任意の要素を𝓐としたとき、必ず(𝓐)に該当するような、「0」「1」「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」のみの支持体から成る文字列である。この𝒜表記の「Pᵪʷ」は自在である。また、その「Pᵪʷ」のある部分を「項」と呼ぶ。

　　🔰𝒜表記の例

　　・(3,3,3,3,3,3)　⭕️

　　・(3,3,3,3,3,)　❌

　　・(,3,3,3,3,3)　❌

　　・(3,,3,3,3,3,3)　❌

　■コア数の表記の構成「ℬ表記」

　・𝒜表記であるような(𝓐)を「(𝓐’)₀」もしくは「(𝓐)₀」と置く。

　・この「(𝓐’)₀」と「(𝓐)₀」は自在である。

　・(𝓐’)₀の項の要素は「Pᵪʷ」である。

　・(𝓐’)₀の項の個数が２個以上のときに限り、その任意の項が持ちうる要素を以下のように拡張する。

　　❶　Pᵪʷ

　　❷　(𝓐)₀の有限個の和

　　❸　(𝓐)₀とPᵪʷとの有限個の和

　　・記号「𝓐」の示す情報体の支持体は「0」「1」「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」に拡張される。それら項にある数は全て自在である。

　　・これを「(𝓐)₁」と命名する。

　　・このとき任意の(𝓐)ᵨを考える。任意の(𝓐)ᵨとは、(𝓐’)₀の項の個数が２個以上のときに限り、その任意の項が持ちうる要素を以下のように拡張したものである。

　　❶　Pᵪʷ

　　❷　(𝓐)ᵨ₋₁の有限個の和

　　❸　(𝓐)ᵨ₋₁とPᵪʷとの有限個の和

　　📌　ℬ表記は、全ての「(𝓐)ᵩ」であるような記号「𝓐」の情報体の集合を「𝓑」の記号で示すのであれば、必ず(𝓑)に該当するような、「0」「1」「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「(」「)」「,」のみの支持体から成る文字列である。

　■コア数の表記の定義

　　📌　コア数の表記はℬ表記である。

　　🔰コア数の例

　　・(3,(3,(3)(3)))　⭕️

　　・(3,(3)(3))　⭕️

　　・(3,(3))　⭕️

　　・((3))　❌

　■項の番号

　　𝕊₈を文字「,」と文字「第」と文字「項」と正整数の「十進記数法」のみからなる文字列の集合とし、以下の写像ℳ₈で、コア数の項に正整数の番号をふる。これは定義などの利便性を高めるための定義である。

　　🍊

　　ℳ₈:ℤ₊→𝕊₈

　　𝐚⟼ℳ₈[𝐚]

　　ℳ₈[1] = 第１項　

　　ℳ₈[𝐮] = 第𝐮項 , ℳ₈[𝐮-1]

　　🔰展開例

　　・(ℳ₈[4])=

　　　(第４項 , ℳ₈[3])=

　　　(第４項 , 第３項 , ℳ₈[2])=

　　　(第４項 , 第３項 , 第２項 , ℳ₈[1])=

　　　(第４項 , 第３項 , 第２項 , 第１項)

　　📌　あるコア数を(ℳ₈[𝐚])と記したとき第𝐚項となる項を最終項と呼ぶ。

　■コア数の番地の定義

　　📌

　　・如何なるコア数も番地を持つ。

　　・任意のコア数(𝓑)の番地は、その(𝓑)の第１項にあるPᵪʷの番地と同じである。

　　・任意のコア数(𝓑)の番地は、その(𝓑)の第１項にあるコア数の番地と同じである。

　■基底数

　　📌　如何なる𝐱番地のコア数(𝓑)も「𝐱番地の数」が基底数である。このとき(𝓑)の「基底の番地」は𝐱番地である。

　　📌　あるコア数(𝓑)の基底数が𝐱番地であれば、(𝓑)の項にある数のうち最小の番地の数は基底数である。

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　■　コア数と加法　■

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　■(𝓑)と素冪数の和の表記

　📌　如何なる(𝓑)の和も単純並列で表す。

　📌　如何なる(𝓑)、または如何なる(𝓑)の単純並列とPᵪʷとの和も単純並列で表す。

　　　ただし、

　　　{𝓒...(𝓑)} + Pᵪ¹ 〓 𝓒...(𝓑)

　　　とする。

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　■　コア数の構造と項　■

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　■コア数の「構造」の定義

　　📌

　　・任意のコア数「(𝓑)」の、コア数として許容される如何なる文字列「𝓑」も任意のコア数「(𝓑)」の構造である。

　　・任意のコア数「(𝓑)」の、「(𝓑)」と「加算の関係」にある如何なる数も、「(𝓑)」の構造には含まない。

　　・任意のコア数「(𝓑)₀」を構造に持つコア数「(𝓑)ᵨ」があるならば、「(𝓑)ᵨ」の構造の、「(𝓑)₀」以外の如何なる構造も、「(𝓑)₀」の構造には含まない。

　■コア数の「項」の定義

　　📌

　　・任意のコア数「(𝓑)」の、「(𝓑)」の構造にある如何なるコア数の項も、「(𝓑)」の項に含まない。

　　・任意のコア数「(𝓑)」の、「(𝓑)」と「加算の関係」にある如何なるコア数の項も、「(𝓑)」の項には含まない。

　　・任意のコア数「(𝓑)₀」を構造に持つコア数「(𝓑)ᵨ」があるならば、「(𝓑)ᵨ」の構造の、「(𝓑)₀」以外の如何なる構造にある項も、「(𝓑)₀」の項には含まない。

　■「項」と「構造」の差異

　　📌

　　・「(𝓑)」の構造にあるとは、「(𝓑)」の文字列の要素として存在するという事である。

　　・「(𝓑)」の項にあるとは、「(𝓑)」の構造にある全ての項のうち、「(𝓑)」の構造にある全てのコア数の項以外の項にあるということである。

　　📢　コア数の「構造」と「項」の大きな違いは、(𝓑)の文字列「𝓑」に含まれる如何なる項も(𝓑)の構造だが、文字列「𝓑」に含まれるすべての項が(𝓑)の項とは限らないことである。例えばコア数(27,3,3,3)は４個の項を持ち「27」は第４項に存在する。この第１項の値を「3」から「(9,3)」に拡張してみる。

　　・(27,3,3,3)

　　・(27,3,3,(9,3))

　　このとき(27,3,3,(9,3))の項は４個のままであり「27」は第４項に存在する。第１項にあるコア数(9,3)の項は(3,3,3,(9,3))の項として数えない。しかし「9」のある(9,3)の第２項は(27,3,3,(9,3))の構造である。

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　■　コア数の基本形　■

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　　📌　如何なるコア数(𝓑)も、ある最小の𝐱番地の数を項に持つのであれば、第１項は必ず𝐱番地である。

　　📌　如何なるコア数(𝓑)も、第𝐮項に基底数よりも大きな番地の数があるのであれば、第𝐮＋1項にある数は基底数である。

　　📌　如何なるコア数(𝓑)も、最終項は基底数である。

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　■　付帯コア数　■

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　■付帯コア数の定義

　　📌　付帯コア数は、第１項以に「基底数ではない数」の存在を許容した表記であり、あるコア数の構造の一部であり、単独では一意な基本列を持たない。

　　　　以下、任意の付帯コア数を ᴱˣ(𝓑)と記す。

　■付帯コア数の番地

　　📌

　　・　任意の付帯コア数「ᴱˣ(𝓑)」の番地は、その「ᴱˣ(𝓑)」の第１項にあるPᵪʷの番地と同じである。

　　・　任意のコア数「ᴱˣ(𝓑)」の番地は、その「ᴱˣ(𝓑)」の第１項にある付帯コア数の番地と同じである。

　■付帯コア数の基底数

　　📌　如何なる𝐱番地の付帯コア数「ᴱˣ(𝓑)」も、「ᴱˣ(𝓑)」を構造に持つ最短のコア数の番地が基底数である。

　　📌　ある付帯コア数「ᴱˣ(𝓑)」の基底数が𝐱番地であれば、「ᴱˣ(𝓑)」の項にある数のうち最小の番地の数は基底数である。

　　📌　如何なる付帯コア数「ᴱˣ(𝓑)」の番地も、その「ᴱˣ(𝓑)」の基底数より大きい。

　■付帯コア数の芯

　　📌　ある付帯コア数「ᴱˣ(𝓑)」の「芯」とは、その「ᴱˣ(𝓑)」の番地を決定する素冪数「Pᵪʷ」である。

　■付帯コア数の単純並列

　　📌　未定義である。

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　■　付帯コア数の基本形　■

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　　📌　如何なる付帯コア数ᴱˣ(𝓑)も、ある最小の𝐱番地の数を項に持つのであれば、第１項は必ず𝐱番地よりも大きい。

　　📌　如何なる付帯コア数ᴱˣ(𝓑)も、第𝐮項に基底数よりも大きな番地の数があるのであれば、第𝐮＋1項にある数は基底数である。

　　📌　如何なる付帯コア数ᴱˣ(𝓑)も、最終項は基底数である。

　　📌　第１項が𝐱番地の時、第１項よりも項番号の大きな項に𝐱番地以上の数が存在するなら、それは素数か付帯コア数である。合成数やコア数についてはAct.３.7.Gargantuaでは未定義である。