第3話 ω番地数列

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 ■ ω番地数列 ■

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  📢 ここでは文字「🍓」を「数を表す任意の表記」とする。。


 ■ω番地数列の定義


  📌 無限個ある任意の「𝐱番地数列」の総称が「ω番地数列」である。


 ■𝐱番地数列の定義


  📌 任意の𝐱番目の素数𝐩の正整数乗の自然数を小さい順に並べた数列が「𝐱番地数列」である。


 ■記号の再定義


  📌 全ての素数𝐩と、その正整数乗の自然数の全ての集合を「ℙᴾᴼᵂᴱᴿ」とし、十進記数法で自然数を記述した文字列全ての集合を「𝑆ℕ」とし、「𝑆ℕ」の要素のうち「ℙᴾᴼᵂᴱᴿ」の要素を記述するような文字列全体の集合を「𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿ」とし、


   𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿの任意の要素を「🍓ᵃ」と置き、

 

   🍓¹ : 𝐩

   🍓ᵃ : 𝐩の𝐚乗


   𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿと自然数の対応を写像ℳ₆で再定義する。


   🍊

   ℳ₆: 𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿ ⟼ ℕ

   [🍓ᵃ ]⟼ℳ₆[🍓ᵃ ]

 

   ℳ₆[🍓ᵃ]= 𝐚-1


   このとき、ℙᴾᴼᵂᴱᴿの要素は、任意の自然数𝐧を🍓ⁿ⁺¹と表記する。


 ■素冪数の定義


  📌 𝐱 ≧2を満たす𝐱番地数列にある数の全体の集合をℙᴾᴼᵂᴱᴿ ᴼᴰᴰと記す。この集合ℙᴾᴼᵂᴱᴿ ᴼᴰᴰの要素を素冪数と呼ぶ。


 ■素冪数の表記


  📌 素冪数は集合𝑆ℙᴾᴼᵂᴱᴿの要素で記す。


 ■素冪数を示す記号


  任意の素数を以下の記号で表す。


  📌 Pᵪ¹

 

  ・下付き文字は「𝐱番目の素数」を意味し「𝐱」は2以上の整数である。

  ・「1番目の素数」は「2」である。

  ・「𝐚番目の素数」は「𝐚 -1番目の素数」よりも大きな最小の素数である。 


  任意の素冪数を以下の記号で表す。


  📌 Pᵪʷ


  ・上付き文字は「Pᵪ¹の𝐰乗」を意味し𝐰は正整数である。

  ・全ての素冪数は「番地」を持ち、ある素冪数𝓹の「番地」は、その𝓹を「Pᵪ¹」と記したときの「𝐱番地」である。


 ■加法の定義


  「素冪数」よる加法を「自然数」による加法に対応させるため、以下に計算規則を定める。


  📌 Pᵪʷ+Pᵪʰ = Pᵪʷ⁺ʰ⁻¹ 


  🔰計算例

  ・3 + 3 = 3 

  ・9 + 3 = 9  

  ・9 + 9 = 27 

 

 ■素冪数の大小関係


  📌 任意の番地の最小の素冪数は「Pᵪ¹」である。


  📌 「Pᵪ¹」は「𝓨₀」の要素である。


  📌 任意の番地の「Pᵪ¹」の有限個の和で到達できない最小の素冪数が「Pᵪ²」である。


  📌 「Pᵪ²」は「𝓨₁」の要素である。


  📌 任意の番地の「Pᵪʷ」よりも大きな最小の素冪数はPᵪʷ+Pᵪ²である。


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 ■ ω番地数列の例 ■

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  🔰一番地数列 P₁ʷ

  一番目の素数を使った「2ʷ」を、小さい順に並べた数列である。この一番地数列については、の要素を表記に与えるため使


  ・2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,…∞


  🔰二番地数列 P₂ʷ

   二番目の素数を使った「3ʷ」を小さい順に並べた数列である。


  ・3,9,27,81,243,729,2187,6561,19683,59049,…∞


  🔰三番地数列 P₃ʷ

   三番目の素数のを使った「5ʷ」を小さい順に並べた数列である。


  ・5,25,125,625,3125,15625,78125,390625,1953125,9765625,…∞


  🔰四番地数列 P₄ʷ

   四番目の素数のを使った「7ʷ」を小さい順に並べた数列である。


  ・7,49,343,2401,16807,117649,823543,5764801,40353607,282475249,…∞


  🔰五番地数列 P₅ʷ

   五番目の素数のを使った「11ʷ」を小さい順に並べた数列である。


  ・11,121,1331,14641,161051,1771561,19487171,214358881,2357947691,25937424601,…∞


  🔰𝐱番地数列 Pᵪʷ

   𝐱番目の素数のを使った「Pᵪʷ」を小さい順に並べた数列である。


  ・Pᵪ¹,Pᵪ²,Pᵪ³,Pᵪ⁴,Pᵪ⁵,Pᵪ⁶,Pᵪ⁷,Pᵪ⁸,Pᵪ⁹,Pᵪ¹⁰,…∞

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