第2話 加法
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■ 加法 ■
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📢 ここでは文字「𝓐」文字「𝓑」文字「🍓」文字「🍇」文字「🍍」を「数」として扱う。
■単純並列
𝕊₄を文字「𝓐」と記号「+」と正整数の「十進記数法」のみの集合とし、𝕊₅を文字「𝓐」と文字と正整数の「十進記数法」のみからなる文字列の集合とし、加法による任意の数「𝓐」の和の単純並列という表記法を以下に定義する。
🍊
ℳ₄:ℤ₊→𝕊₄
𝐚⟼ℳ₄[𝐚]
ℳ₄[1] = 𝓐₁
ℳ₄[𝐮] = 𝓐ᵤ + ℳ₄[𝐮-1]
🍊
ℳ₅:ℤ₊→𝕊₅
𝐚⟼ℳ₅[𝐚]
ℳ₅[1] = 𝓐₁
ℳ₅[𝐮] = 𝓐ᵤ ℳ₅[𝐮-1]
📌 このとき、ある正整数𝐚を使いℳ₄[𝐚] = ℳ₅[𝐚]の等式が矛盾しない表記が存在するであれば、ℳ₅[𝐚]の値域の要素は𝓐の単純並列である。
📌 また、単純並列であるような🍓と🍇の和も単純並列である。
📌 単純並列は加法の順序を固定するものである。
・ 🍓+🍇=🍓🍇 ⭕️
・ 🍓+🍇=🍇🍓 ❌
📢 単純並列は「コア数の有限個の和」と「コア数の有限個の和と素冪数の和」として用いる表記であり素冪数の和には用いない。
・ (3)+(3) = (3)(3) ⭕️
・ (3)+(3)+9 = (3)(3)9 ⭕️
・ 9+9 = 99 ❌
・ 9+9 = 27 ⭕️
■加法に関連する言葉の定義
📌
|単純並列の先端| : ある正整数𝐚について、ℳ₅の値域の任意の要素であるℳ₅[𝐚]と表せる文字列「𝓐ₐ...𝓐₁」の部分文字列である「𝓐₁」を「単純並列の先端」という。
📌
|𝓐の有限個の和| : ある正整数𝐚について、ℳ₅の値域の任意の要素であるℳ₅[𝐚]と表せる文字列「𝓐ₐ...𝓐₁」が「𝓐の有限個の和」である。
📢 定義上「𝓐の有限個の和」は「𝓐」含み、「🍓と🍇の有限個の和」は「🍓」もしくは「🍇」を含むが、誤読を回避するために「𝓐の有限個の和もしくは𝓐」のように重複して記す場合がある。
📌
|一律な𝒜の有限個の和| : ℳ₅の値域の任意の要素であるℳ₅[𝐚]の如何なる𝓐ₑも全て等しいことを強調する表現である。
📌
|加算の関係| : 如何なる下付きの番号を持つ「𝓐」についても、他の全て下付きの番号を持つ「𝓐」に対して「加算の関係」にあるという。
📌
|到達| : 🍍>🍓である🍓と🍍について、ƒ[🍓]=🍇が🍇≧🍓となるような任意の演算があるとき、その演算の解である🍇の値が🍇≧🍍となるときに、ƒ[🍓]で🍍に到達したという。
📌
|表現| : 🍍>🍓である🍓と🍍について、ƒ[🍓]=🍇が🍇≧🍓となるような任意の演算があるとき、その演算の解である🍇の値が🍇=🍍となるときに、ƒ [🍓]で🍍を表現したという。
■加法のための数の分類
加法の原理を定義するために数を以下の3つに分類する。
📌
❶ 𝓐⊕𝓑=𝓐かつ𝓐⊗𝓑=𝓑となるような有限の𝓑
❷ 𝓐⊕𝓑≠𝓐かつ𝓐⊕𝓑≠𝓑かつ𝓐⊗𝓑=𝓐となるような有限の𝓑
❸ その数より小さな如何なる𝓐の有限個の和でも到達できない、かつ、自身と𝓨₀の和以外の、如何なる数の和でも表現できない無限の𝓑
上記のような数の全体の集合をぞれぞれ、
📌
❶ 𝓨₀
❷ 𝓨₁
❸ 𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬ
と、命名する。
また、𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬの要素である𝓐に対して𝓑が𝓐>𝓑であることを、
📌 𝓐>>𝓑
と、表す。
■加法の法則の定義
❶
𝓐>>𝓑である如何なる𝓐と𝓑についても、
📌
・𝓐+𝓑 = 𝓐𝓑
・𝓑+𝓐 =𝓐
である。
❷
📌 ℳ₄[𝐚] の𝐦 >𝐞を満たす、加算の関係にある如何なる𝓐ₘと𝓐ₘ₋ₑについても𝓐ₘ₋ₑ>>𝓐ₘであれば𝓐ₘは𝓨₀に等しい。こような𝓐ₘを𝓑、𝓐ₘと𝓐ₘ₋ₑ以外を🍓としたとき、ℳ₄[𝐚] を以下のように略記するのであれば、
・…⊕🍓⊕𝓑⊕𝓐 = …⊕🍓⊕𝓐
・…⊕🍓⊕𝓑…⊕🍓⊕𝓐 = …⊕🍓…⊕🍓⊕𝓐
・…⊕🍓⊕𝓑…⊕🍓⊕𝓐…⊕🍓 =…⊕🍓 …⊕🍓⊕𝓐…⊕🍓
である。
❸
如何なる𝓐についても、
📌
・𝓨₀+𝓐=𝓐
・𝓐+𝓨₀=𝓐
である。
❹ 𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬの要素である𝓐の有限個の和で到達可能な𝓐<𝓑である𝓑ついて、
📌
・𝓐+𝓑=𝓐𝓑
・𝓑+𝓐=𝓑𝓐
である。
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