巨大数で遊ぼう！ ～Fourth season～

第２話 加法

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　■　加法　■

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　　📢　ここでは文字「𝓐」文字「𝓑」文字「🍓」文字「🍇」文字「🍍」を「数」として扱う。

　■単純並列

　　𝕊₄を文字「𝓐」と記号「+」と正整数の「十進記数法」のみの集合とし、𝕊₅を文字「𝓐」と文字と正整数の「十進記数法」のみからなる文字列の集合とし、加法による任意の数「𝓐」の和の単純並列という表記法を以下に定義する。

　　🍊

　　ℳ₄:ℤ₊→𝕊₄

　　𝐚⟼ℳ₄[𝐚]

　　ℳ₄[1] = 𝓐₁　

　　ℳ₄[𝐮] = 𝓐ᵤ + ℳ₄[𝐮-1]

　　🍊

　　ℳ₅:ℤ₊→𝕊₅

　　𝐚⟼ℳ₅[𝐚]

　　ℳ₅[1] = 𝓐₁　

　　ℳ₅[𝐮] = 𝓐ᵤ ℳ₅[𝐮-1]

　　📌　このとき、ある正整数𝐚を使いℳ₄[𝐚] = ℳ₅[𝐚]の等式が矛盾しない表記が存在するであれば、ℳ₅[𝐚]の値域の要素は𝓐の単純並列である。

　　📌　また、単純並列であるような🍓と🍇の和も単純並列である。

　　📌　単純並列は加法の順序を固定するものである。

　　・　🍓＋🍇＝🍓🍇　⭕️

　　・　🍓＋🍇＝🍇🍓　❌

　　📢　単純並列は「コア数の有限個の和」と「コア数の有限個の和と素冪数の和」として用いる表記であり素冪数の和には用いない。

　　・　(3)＋(3) = (3)(3)　⭕️

　　・　(3)＋(3)＋9 = 　(3)(3)9 　⭕️

　　・　9＋9 = 99　❌

　　・　9＋9 = 27　⭕️

　■加法に関連する言葉の定義

　　📌　

　　|単純並列の先端|　: ある正整数𝐚について、ℳ₅の値域の任意の要素であるℳ₅[𝐚]と表せる文字列「𝓐ₐ...𝓐₁」の部分文字列である「𝓐₁」を「単純並列の先端」という。

　　📌　

　　|𝓐の有限個の和|　: ある正整数𝐚について、ℳ₅の値域の任意の要素であるℳ₅[𝐚]と表せる文字列「𝓐ₐ...𝓐₁」が「𝓐の有限個の和」である。

　　📢　定義上「𝓐の有限個の和」は「𝓐」含み、「🍓と🍇の有限個の和」は「🍓」もしくは「🍇」を含むが、誤読を回避するために「𝓐の有限個の和もしくは𝓐」のように重複して記す場合がある。

　　📌　

　　|一律な𝒜の有限個の和|　: ℳ₅の値域の任意の要素であるℳ₅[𝐚]の如何なる𝓐ₑも全て等しいことを強調する表現である。

　　📌　

　　|加算の関係|　: 如何なる下付きの番号を持つ「𝓐」についても、他の全て下付きの番号を持つ「𝓐」に対して「加算の関係」にあるという。

　　📌　

　　|到達|　: 🍍>🍓である🍓と🍍について、ƒ[🍓]=🍇が🍇≧🍓となるような任意の演算があるとき、その演算の解である🍇の値が🍇≧🍍となるときに、ƒ[🍓]で🍍に到達したという。

　　📌　

　　|表現|　: 🍍>🍓である🍓と🍍について、ƒ[🍓]=🍇が🍇≧🍓となるような任意の演算があるとき、その演算の解である🍇の値が🍇=🍍となるときに、ƒ [🍓]で🍍を表現したという。

　■加法のための数の分類

　加法の原理を定義するために数を以下の３つに分類する。

　　📌　

　　❶　𝓐⊕𝓑=𝓐かつ𝓐⊗𝓑=𝓑となるような有限の𝓑

　　❷　𝓐⊕𝓑≠𝓐かつ𝓐⊕𝓑≠𝓑かつ𝓐⊗𝓑=𝓐となるような有限の𝓑

　　❸　その数より小さな如何なる𝓐の有限個の和でも到達できない、かつ、自身と𝓨₀の和以外の、如何なる数の和でも表現できない無限の𝓑

　上記のような数の全体の集合をぞれぞれ、

　　📌　

　　❶　𝓨₀

　　❷　𝓨₁

　　❸　𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬ

　と、命名する。

　また、𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬの要素である𝓐に対して𝓑が𝓐>𝓑であることを、

　　📌　𝓐>>𝓑

　と、表す。

　■加法の法則の定義

　❶　

　𝓐>>𝓑である如何なる𝓐と𝓑についても、

　　📌

　　・𝓐+𝓑 = 𝓐𝓑

　　・𝓑+𝓐 =𝓐

　である。

　❷

　　📌　ℳ₄[𝐚] の𝐦 >𝐞を満たす、加算の関係にある如何なる𝓐ₘと𝓐ₘ₋ₑについても𝓐ₘ₋ₑ>>𝓐ₘであれば𝓐ₘは𝓨₀に等しい。こような𝓐ₘを𝓑、𝓐ₘと𝓐ₘ₋ₑ以外を🍓としたとき、ℳ₄[𝐚] を以下のように略記するのであれば、

　　・…⊕🍓⊕𝓑⊕𝓐 = …⊕🍓⊕𝓐

　　・…⊕🍓⊕𝓑…⊕🍓⊕𝓐 = …⊕🍓…⊕🍓⊕𝓐

　　・…⊕🍓⊕𝓑…⊕🍓⊕𝓐…⊕🍓 =…⊕🍓 …⊕🍓⊕𝓐…⊕🍓

　　である。

　❸

　如何なる𝓐についても、

　　📌　

　　・𝓨₀+𝓐＝𝓐

　　・𝓐+𝓨₀＝𝓐

　である。

　❹　𝓨ᴼᴹᴱᴳᴬの要素である𝓐の有限個の和で到達可能な𝓐<𝓑である𝓑ついて、

　　📌　

　　・𝓐＋𝓑＝𝓐𝓑

　　・𝓑＋𝓐＝𝓑𝓐

　である。