巨大数で遊ぼう！ ～Fourth season～

第１話 基礎的な記号と概念

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　■　基礎的な記号と概念　■

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　日本語の文章に用いられる「かぎ括弧」 は如何なる定義にも関係しない括弧である。文字「𝒜」と文字「ℬ」は「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。ここでは「𝒜」を任意の文字列とする。以下「𝒜:ℬ」という記述は「𝒜 をℬと定義する」という意味である。このとき「:」の左辺の「𝒜」は意味を持たない文字列そのものである。そうではなく「𝒜」が既存の概念を示す文字列である場合は「|𝒜| : ℬ」と記す。

　以下、文字「■」は文章の装飾文字である。

　以下、括弧「【】」は文章の装飾文字である。

　【装飾的な記号】

■　「・」　: 文章の装飾文字。

■　「❶」　: 文章の装飾文字。

■　「❷」　: 文章の装飾文字。

■　「❸」　: 文章の装飾文字。

■　「❹」　: 文章の装飾文字。

■　「🔰」　: 文章の装飾文字。例文。

■　「📢」　: 文章の装飾文字。解説。

■　「📌」　: 文章の装飾文字。定義。　注・全ての定義に添えているわけではない。

■　「 🍊 」　: 文章の装飾文字。

　【機能的な記号】

■　「 」　: |半角スペース| は意味のない文字である。如何なる文字列も|半角スペース| の有無により変化しない。

■　「　」　: | 全角スペース| は文字列を分つ文字である。|全角スペース| の有無により文字列は変化する。

■　「𝓐」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

■　「𝓑」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

■　「𝒜」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

■　「ℬ」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

■　「🍓」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

■　「🍇」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

■　「🍍」　:「全体を通しての特定の何か」を示す記号ではない。

■　「❌」　: 解説の例文でそれが偽であることを示す。

■　「⭕️」　: 解説の例文でそれが真であることを示す。

■　「 “” 」　: 例文を示す括弧。

■　「□」　: 「任意の文字」を意味する。

■　「〓」　: “ 𝒜 〓 ℬ ”　「𝒜」は「ℬ」と表記する。

■　「➡」　: この記号があるとき、記号「➡」の左辺の全てについて右辺の不等号の条件を満たす。

　📢　𝒜は非負整数であるとし、以下のような数式があったとする。

　　　ℬ = (𝒜,𝒜,𝒜)　𝒜≧2

　　　以下、説明のために文字「𝒜」に添え字をふる。

　　　ℬ = (𝒜₂,𝒜₁,𝒜₀)　𝒜≧2

　　　何がしかの事情で「𝒜」を「２以上」に指定したいとき、

　　　例えば、それが「𝒜₀」に対してなのか、

　　　それとも「𝒜₂」と「𝒜₁」と「𝒜₀」に対してなのかなわからない。

　　　このようなとき、

　　　ℬ = (𝒜,𝒜,𝒜)　➡　𝒜≧2

　　　と、記して厳密化するための記号である。

　【括弧】

■　「 {} 」　: 演算の掛かりを示す括弧。

■　「 ⁽⁾ 」　: 演算の掛かりを示す括弧。

■　「 ₍₎ 」　: 演算の掛かりを示す括弧。

■　「 ⁅⁆ 」　: 括弧内の記号を構成する文字列を示す括弧。例えば“𝒜:任意の素数”という定義があったとき「(⁅𝒜⁆)」は「(3)」や「(5)」を出力しない。「(⁅𝒜⁆)」は「(𝒜)」を出力する。

　📢　

　・𝓙 : 10以下の素数の総和

　　としたとき、

　・𝓙 = 17

　・⁅𝓙⁆ = 𝓙

　　である。

　【写像に関連する記号】

■　「 [] 」　: 写像に代入する要素を示す括弧。

■　「 ℳ 」　: 写像の記号。全て全域写像である。

■　「 → 」　: 集合論における写像の記号に同じ。

■　「⟼」　: 集合論における写像の記号に同じ。

■　「；」　: 写像に代入する２個以上の要素を区切る。

■　「×」　: 直積集合。集合の直積を表す。

■　「ℕ」　: 非負整数全体の集合。

■　「ℤ₊」　: 正整数全体の集合。

　【一般的な数の意味する記号】

■　「 𝐧 」　: 非負整数　「 ⁿ = 𝐧 」上付き文字　「 ₙ = 𝐧 」下付き文字

■　「𝓷」　: 非負整数

■　「ϕ」　: 非負整数　「 ᵠ =ϕ」上付き文字　「 ᵩ =ϕ」下付き文字

■　「 𝐞 」　: 正整数　「 ₑ = 𝐞 」下付き文字

■　「 𝐚 」　: 正整数　「 ₐ = 𝐚 」下付き文字

■　「 ʷ 」　: 正整数　「 ʷ = 𝐰」上付き文字

■　「 ʰ 」　: 正整数　「 ʰ = 𝐡」上付き文字

■　「 ₘ 」　: 正整数　「 ₘ = 𝐦 」下付き文字

■　「 ᵨ 」　: 正整数

■　「 𝐮 」　: ２以上の整数　「 ᵤ = 𝐮 」下付き文字

■　「 ᵪ 」　: ２以上の整数　下付き文字　「 ᵪ = 𝐱 」

■　「 ᵧ 」　: ２以上の整数　下付き文字

　【文字列に関する概念】

■　|空欄|　: |半角スペース| を意味する。

■　|文字|　: 文字「𝒜」という言及は⁅𝒜⁆と同義である。

と

■　|記号|　: ある文字または文字列に定義が与えらたとき、 ある文字または文字列は記号である。このとき記号を構成する文字または文字列を「記号の支持体」といい、記号に定義された情報を「記号の情報体」という。

　📢　

　・𝒜:ℬ

　・記号「𝒜」= 𝒜

　・文字「𝒜」= 𝒜

　・⁅𝒜⁆ = 𝒜

　・𝒜 = ℬ

　・記号の支持体は「𝒜」

　・記号の情報体は「ℬ」

■　|文字列|　: ある文字の組み合わせが、以下の写像 ℳ₁の値域の要素に対応するのであれば、それは文字列である。⬜を「□」のみの記号からなる文字列全体の集合とし、写像 ℳ₁を以下に定義する。

　　　　🍊

　　　　ℳ₁:ℕ→⬜

　　　　𝐧⟼ℳ₁[𝐧]

　　　　ℳ₁[0] = |空欄|　

　　　　ℳ₁[𝐞] = ⁅□⁆ ℳ₁[𝐞-1]　

■　|最短|　: 文字「𝒜」を任意の文字列としたとき「最短の𝒜」とは、文字列が最小となる𝒜のことである。厳密な定義は以下の写像ℳ₂で定める。写像ℳ₁の値域の要素全体の集合を𝕊₁とする。

　　　　🍊

　　　　ℳ₂:𝕊₁→ℕ

　　　　□ …▫⟼ℳ₂[□ …▫]

　　　　ℳ₂[ ]=0

　　　　ℳ₂[□ …▫]=1+{ℳ₂[…▫]}

　このとき、最短の𝒜とは、ℳ₂[𝐧]=𝒜を満たす最小となる非負整数𝐧が存在することである。記号「…▫」については以下に定める。

■　「…▫」 　: 「０個以上の□」。⬜を「□」のみの記号からなる文字列全体の集合とし、厳密な定義は以下の写像 ℳ₃で定義する。

　　　　🍊

　　　　ℳ₃:ℕ→⬜

　　　　𝐧⟼ℳ₃[𝐧]

　　　　ℳ₃[0] = |空欄|　

　　　　ℳ₃[𝐞] = ⁅□⁆ ℳ₃[𝐞-1]　

　このとき、 …▫=ℳ₃[𝐧]を満たす非負整数𝐧が存在するような文字列「…▫」が「０個以上の□」である。

■　|文字列の要素|　: 文字「🍓」と文字「🍇」と文字「𝓐」と文字「𝓑」を任意の文字列としたとき「🍓は🍇の文字列の要素である」とは、

　・　🍇 = ℳ₁[𝐱]　𝐱>𝐚

　・　🍓 = ℳ₁[𝐚]　𝐚<𝐱

　・　𝓐＝ℳ₁[𝐧₁]

　・　𝓑＝ℳ₁[𝐧₀]

　としたとき、文字列「🍇」は文字列の連結「🍓𝓑」「𝓐🍓𝓑」「𝓐🍓」に対して少なくとも以下のいずれかを満たすという事である。

　・　🍓𝓑=🍇　𝐱≧𝐚+𝐧₀

　・　𝓐🍓𝓑=🍇　𝐱≧𝐚+𝐧₀+𝐧₁

　・　𝓐🍓=🍇　𝐱≧𝐚+𝐧₁

■　|数の要素|　: 文字「🍓」と文字「🍇」を数としたとき「🍓は🍇の数の要素である」とは、「🍓」と「🍇」が「🍇>🍓」を満たすことである。

　【数の概念】

■　|自然数|　: 数学用語に同じ。ただし集合論に順じて「０」を含む。

■　|非負整数|　:０以上の整数。自然数。

■　|整数|　: 数学用語に同じ。

■　|正整数|　:１以上の整数。

■　|素数|　: 数学用語に同じ。

■　|奇素数|　: ２以外の素数。

■　|偶数|　: 数学用語に同じ。０を含む。

■　|奇数|　: 数学用語に同じ。

■　|十進記数法|　: アラビア数字を使った十進法。

■　|変数|　: ある記号が示す値が、定められた範囲で任意の値をとれるのであばそれは変数である。

　【独自の数の概念】

■　|素冪数|　: 素冪数は自然数である。正確には自然数の記数法である。

■　|コア数|　: コア数は素冪数を使った自然数の拡張であり全て無限の数である。

■　|みくみく順序数|　: みくみく順序数は、コア数と素冪数と、それらの有限個の和で表現できる数のすべての集合である。このテキストにおいて「数」と言えば、それは「自然数」の要素であるか「みくみく順序数」の要素である。

■　|自在|　:文字「𝒜」と文字「ℬ」を変数としたとき、 𝒜とℬのとる値が、互いに等しくとも等しくなくともよい状態を「𝒜とℬは自在」という。また、ふたつ以上の𝒜について、その𝒜の如何なる組み合わせにおいても、𝒜のとる値が、等しくとも等しくなくともよい状態を「𝒜は全て自在」という。

　【大小関係に関する概念】

📢　以下の文字「𝒜」は「数」である。

■　|𝒜 以上|　: 「𝒜」を含む。

■　|𝒜 以下|　: 「𝒜」を含む。

■　|𝒜 以外|　: 「𝒜」を含まない。

■　|𝒜 以内|　: 「𝒜」を含む。

■　|𝒜 未満|　: 「𝒜」を含まない。

■　|𝒜 よりも|　: 「𝒜」を含まない。

■　|𝒜 まで|　: 「𝒜」を含む。

　【数学の概念】

■　|加法|　: 数学用語に同じ。使用する記号は「 + 」「 ⁺ 」「 ₊ 」「⊕」

■　|減法|　: 数学用語に同じ。使用する記号は「 - 」「 ⁻ 」「 ₋ 」「⊖ 」

■　|乗法|　: 数学用語に同じ。使用する記号は「⊗」

■　|等号|　: 数学用語に同じ。使用する記号は「=」

■　|等号の否定|　: 数学用語に同じ。使用する記号は「≠」

■　|不等号|　: 数学用語に同じ。使用する記号は「<」「>」

■　|等号付き不等号|　: 数学用語に同じ。使用する記号は「≦」「≧」

■　|属する|　: 集合論に関連する数学用語に同じ。使用する記号は「∈」

■　|集合|　: 集合論に関連する数学用語に同じ。

■　|部分集合|　: 集合論に関連する数学用語に同じ。

■　|直積集合|　: 集合論に関連する数学用語に同じ。

📢　以下の「全域写像」から「値域」までの項目にある文字「𝒜」と文字「ℬ」は任意の集合である。

■　|写像|　: 集合論に関連する数学用語に同じ。全域写像。

■　|全域写像|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「𝒜」が始域となる写像。

■　|部分写像|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「𝒜」が定義域となる写像。

■　|始域|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「𝒜」である。

■　|定義域|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「𝒜」の部分集合である。

■　|終域|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「ℬ」である。

■　|値域|　: 写像「🍓:𝒜→ℬ」の集合「ℬ」の部分集合であり、かつ、集合「𝒜」の任意の要素を「𝒶」としたとき「🍓[𝒶]」と記せる要素の集合である。

■　|アラビア数字|　: 全角、半角、下付き、上付きともに自然数の十進記数法を表している。ただし、半角については「ω番地数列」として「記号の再定義」を行う。この再定義の後も「1」が定義文に登場するが、これは十進記数法の「1」である。また、みくみく数の定義に用いている「3939」も十進記数法である。

　【下付き文字の用法】

■　下付き文字は「素冪数【第３話参照】」の表記法と、以下の２種とあわせて３種の用法が存在する。

　用法 ❶　それが数を意味する記号であるとき、例として非負整数を表す記号「𝐧」が２個以上あるとき、その２個以上ある記号「𝐧」が互いに異なる値を取れるように、下付き文字は記号「𝐧」と同じ意味の記号を生成する。また、その記号「𝐧」に配列が定義される場合は、その順序を示す。「𝐧₀,𝐧₁,...𝐧ₘ　𝐦>2」。

　・𝐧₁

　・𝐧₀

　２種類の同じ意味の記号である。

　用法 ❷　それが数以外を意味する記号であるとき、下付き文字はそれらが互いに異なる記号であることを意味する。これらはあらかじめ下付き文字を含んだ文字列として記号を定義している。

　・𝕊₁

　・𝕊₀

　互いに異なる意味の記号である。