私的数学日誌

42日目「特殊な性質を持った関数の積分」

様々な特性を持つ関数が考案され、それらに対して面白い積分公式がいくつか成り立つ。早速見ていこう。

・偶関数と奇関数

次の性質を満たす関数を偶関数という。

f(x)=f(-x)

この関数は、図示してみればわかることだが、y軸に対して対称な関数である。

次の性質を満たす関数を奇関数という。

-f(x)=f(-x)

この関数は、原点に対して対称なグラフを持つ。

偶関数と奇関数の性質

偶関数をf,奇関数をgと書く。

1, g(0)=0

2, fgは奇関数、g_1・g_2は偶関数、f_1・f_2は偶関数である

3, f_1+f_2は偶関数、g_1+g_2は奇関数

[証明]

1 g(-0)=-g(0)より、2g(0)=0が成り立つため。

2 f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)より。f_1(-x)f_2(-x)=f_1(x)f_2(x)より。g_1(-x)g_2(-x)=g_1(x)g_2(x)より。

3 f_1(-x)+f_2(-x)=f_1(x)+f_2(x)より。g_1(-x)+g_2(-x)=-g_1(x)-g_2(x)より。

早速積分公式を見ていこう。fとgはそのまま偶関数と奇関数を表すとする。

∫(-a→a) f(x)dx=2∫(0→a) f(x)dx

∫(-a→a) g(x)dx=0

[証明]

I=∫(-a→a) f(x)dx, J=∫(-a→a) g(x)dxとする。偶関数と奇関数の性質から、xを-tに置換したいと考える。では、置換積分を実行しよう。x=-t、dx/dt=-1

I=∫(a→-a) -f(-t)dt=∫(-a→a) f(t)dt=I

J=∫(a→-a) -g(-t)dt=-∫(-a→a) g(t)dt=-J

J=0を導くことができた。しかし、Iについては何も証明できていない。ここで、次のように積分を分解して、そこから変数変換を行う。

I=∫(-a→0) f(x)dx +∫(0→a) f(x)dx

この時、∫(-a→0) f(x)dxに先ほどの変換を行うと、x=-tであり、dx/dt=-1となる。

∫(-a→0) f(x)dx=∫(a→0) -f(-t)dt=∫(0→a) f(t)dt

これを、Iの式に代入することで、定理が示せた。

適用例

∫(-1→1) |x|dxについて、|x|は偶関数になるので、この積分の結果は、2∫(0→1) xdx=1となる。|x|をそのまま積分するには、積分を分解して場合分けが必要だが、偶関数の公式を知っておくことで、場合わけせずに積分を計算することができた。

他にも複雑な関数だと思ったら、その関数が奇関数であるということは往々にして起こり得ることであるので、複雑な関数が出てきて、しかも、奇関数ばかりの時は注目してみてほしい。

・周期関数

f(x)=f(x+T)がどのxについても成り立つ関数fを周期Tを持つ関数といい、T周期関数と呼ぶ。次の積分公式が成り立つ。

∫(a→b) f(x)dx=∫(a+T→b+T) f(x)dx

[証明]

u=x+Tと左辺に対して変数変換を行う。dx/du=1であり、変数はa+T→b+Tと変化する。

∫(a→b) f(x)dx=∫(a+T→b+T) f(u-T)du=∫(a+T→b+T) f(u)du=∫(a+T→b+T) f(x)dx

より示せた。

この定理の系として次の定理が成り立つ。

0<c<Tとなるcに対して、

∫(c→c+T)f(x)dx=∫(0→T) f(x)dx

[証明]

∫(0→T) f(x)dx=∫(0→c) f(x)dx +∫(c→T) f(x)dx=∫(0→c) f(x)dx+∫(c-T→0) f(x)dx=∫(c-T→c)f(x)dx=∫(c→c+T)

適用例

∫(1-2π→1) sin(x)dx=∫(0→2π) sin(x)dx=0

この系はフーリエ級数展開の収束性の議論などでも使われるものである。見た目を整理してわかりやすい式に変形できるとことが利点である。この定理たちに関してはグラフを書くことでよりわかりやすくなるように思われる。

この系を簡潔に表すと、積分区間の長さが周期と同じになれば、積分した時の値は任意の周期と同じ長さの区間の積分の値と等しくなるということである。

系の系

∫(c→c+nT)f(x)dx=n∫(0→T) f(x)dx nは自然数

[証明]

Σ(k=1→n) ∫(c+(k-1)T→c+kT) f(x)dx=Σ(k=1→n) ∫(0→T) f(x)dx=n∫(0→T) f(x)dx

積分区間の長さが周期の自然数倍であればその値は、1周期の長さの区間での積分の値の自然数倍と一致する。