私的数学日誌

28日目「√の入れ子」

√(a+√(a+√(a+......)))の値を求める。

1.漸化式によって解釈する

√の入れ子はaを足して、√をかぶせることによって実現できる。よって、a_(n+1)=√(a+a_n),a_0=0というように定義された数列a_nの極限を求めるという問題に帰着できた。また、a≧0である。

2.数列の非負性を示す

漸化式を見れば自明である。

3.数列の単調増加性を示す

a_(n+1)≧a_nを示す。n=0のときこれは正しい。n=kのとき正しいとして、n=k+1の時を示す。a_(k+1)≧a_kを変形していく。両辺にaを加えて、a+a_(k+1)≧a+a_kとなる。漸化式より、a_(k+2)^2≧a_(k+1)^2。両辺非負より二乗しても不等号の向きは維持される。よって、a_(k+2)≧a_(k+1)。帰納的に題意が示せた。

4.数列の有界性を示す。

b={1+√(1+4a)}/2とする。このbは収束の速さの議論でも用いるので覚えておいてほしい。bはb^2=b+aを満たす正数である。このとき、a_n≦bを示す。n=0のときこれは正しい。n=kの時正しいとして、n=k+1の時を示す。a_k≦bが成り立っているので、a_k+a≦a+bも成り立つ。漸化式とbの性質を用いて変形すると、a_(k+1)^2≦b^2となる。a_nは常に正で、bも正であるので1/2乗しても大小関係は変わらず、a_(k+1)≦bが示せた。つまり、帰納的に題意が示せた。

ここでの結果と単調収束定理を用いるとa_nは収束することがわかる。よって、収束値をxとおき、漸化式を用いて、x=√(x+a)。これより、xは非負。この方程式を解くと、x={1±√(1+4a)}/2となる。aが0よりも大きいとき、{1-√(1+4a)}/2は負になるので、xが非負であることに矛盾。よって、x={1+√(1+4a)}/2。次に、a=0のときは、x=0,1となるが、漸化式よりx=0が正しい。

結局a_nの収束値はaの値によって変わり、aが正の時{1+√(1+4a)}/2、a=0のとき、0であることが導けた。

ここからはさらに細かくどの程度の速さで収束するのか確かめる。

以下ではaは正であると仮定する。理由はa=0のときの収束の速さは、a_nはずっと0だから議論する意味がないからである。

ここで、f(x)=√(x+a)とすると、a_(n+1)=f(a_n)となる。ここで平均値の定理を使う。a_n≦bであることに留意して、定理を用いると、

{f(b)-f(a_n)}/b-a_n=(b-a_(n+1))/b-a_n=f'(c)となりa_n＜c＜bとなるcが存在する。f'(c)を計算するとf'(c)=1/2√(a+c)となる。f'(c)≦f'(a_n)=1/2√(a+a_n)とできるので、(b-a_(n+1))/b-a_n≦1/2√(a+a_n)。これを式Aと呼ぼう。

次のような議論を行う。a＞0のとき、b≧1である。すなわち、a_nについて、あるNがとれて、n≧Nとなれば、a_n≧1が成り立つ。このようなNをとっておこう。

ここで、式Aに戻ると、(b-a_(n+1))/b-a_n≦1/2√(a+a_n)を変形して、b-a_n≦{b-a_(n-1)}/{2√a_n}が導ける。これを帰納的に使うと

b-a_n≦b/2^nΠ(k=1→n)√(a_k)。n≧Nとすると、1/a_n＜1。すなわち、n≧Nとしたとき、b-a_n＜b/2^nΠ(k=1→N-1)√(a_k)。

C=b/Π(k=1→N-1)√(a_k)とすると、Cはaにしか依存しない。これを用いると、b-a_n＜C/2^n（Cはaにしか依存しない定数）とできる。

これで、収束の速さがわかった。nを一増やすと、誤差は大体1/2になって行くのである。実際、aを1以上とすると、N=1とできて、nが1以上のときの誤差はnが1増えるにつれて、前までの誤差の1/2以下になっていく。最後にaがいくつかの値の時のa_nのn=1→10のときの値、収束値b、bとa_nの誤差を掲示しておく。

a=1

n a_n b b-a_n

1 1 1.61803... 0.61803...

2 1.41421... 0.20382...

3 1.55377... 0.06426...

4 1.59805... 0.01998...

5 1.61184... 0.00618...

6 1.61612... 0.00191...

7 1.61744... 0.00059...

8 1.61785... 0.00018...

9 1.61797... 0.00005...

10 1.61801... 0.00001...

a=2

n a_n b b-a_n

1 1.414213... 2 0.5857864...

2 1.847759... 0.1522409...

3 1.961570... 0.0384294...

4 1.990369... 0.0096305...

5 1.997590... 0.0024090...

6 1.999397... 0.0006023...

7 1.999849... 0.0001505...

8 1.999962... 0.0000376...

9 1.999990... 0.0000094...

10 1.999997... 0.0000023...