私的数学日誌

32日目「cos9°を代数的に求める」

cos9°を直接求めようとする。cos(9°n)はnが整数ならn次式で表せることを用いると、cos(45°)=cos(5×9°)を用いて、5次方程式を解くことになる。これはかなり面倒である。なぜならば代数的解法がないからである。

ではcosの性質を使って、3次方程式までうまく持っていこう。

cos9°はcos36°に2回半角の公式を用いれば求めることができるので、cos36°を求める。θ=36°とすると、３θ+2θ=180°より、cos3θ=cos(180°-2θ)=-cos2θ

よって、cos3θ+cos2θ=0。

三倍角の公式、倍角の公式は、チェビシェフ多項式を用いれば簡単に求められる。

cos3θ=4cos^3(θ)-3cosθ

cos2θ=2cos^2(θ)-1

cos3θ+cos2θ=4cos^3(θ)+2cos^2(θ)-3cosθ-1=0

t=cosθ と置くと、

4t^3 +2t^2 -3t -1=0

t=-1の時、左辺は0になるので、左辺はt+1で割り切れる。

左辺=(t+1)(4t^2 -2t -1)=0より、4t^2 -2t -1=0となるtを解の公式を用いて求める。

t=(1±√5)/4

cos36°は正より、cos36°=(1+√5)/4

cos^2(θ/2)=(1+cosθ)/2 より

cos^2 18°=(5+√5/4)/2=(5+√5)/8

cos18°=√(5+√5)/2√2

cos^2 9°=(1+cos18°)/2={2√2+√(5+√5)}/4√2={4+√(10+2√5)}/8

cos9°=√{4+√(10+2√5)}/2√2=√{8+2√(10+2√5)}/4

つまり、cos9°は√{8+2√(10+2√5)}/4であることが示せた。