私的数学日誌

19日目「自然数に∞という元を加えて新しい集合を作りたい」

Nには最大元が存在しない。しかし、最大元をNに無理矢理加えてみて、

それが正しく全順序集合になるのか検証してみたい。

今回は、演算とかは考えず、順序だけで話を進めようと思う。おさらいをしてみよう。順序集合(X,≦)とは、

・x≦x ∀x∈X （反射律）

・x≦y、y≦x→x=y ∀x,y∈X （反対称律）

・x≦y、y≦z→x≦z ∀x,y,z∈X （推移律）

という二項関係≦が定まっている集合Xのことを指す。このときの≦を順序という。

仮にXの任意の二元が≦で比較可能ならば、Xは全順序集合という。（比較可能律）このとき、≦を全順序という。

自然数の集合をNとかき、Nの最小元を0とする。Nには最大元が存在していない。ここに無理矢理∞（別にiとかでもよい）という元を加えてみよう。

そして、無限を以下のような性質を満たすものとする。

n≦*∞ （n∈N*）

この∞を加えた自然数をN*と書き、拡大自然数と呼称する。これが自然数の集合から自然に拡張した順序≦*（誤解の恐れがなければ≦と書き、自然数の順序と区別したいとき、このように書くことと約束する）によって、全順序集合をなすことを確認してみよう。

まずは、N*が≦*で順序集合をなすことを確認しておこう。

定理

(N*,≦*)は全順序集合

証明

反射律を確認する。x≦*xを証明すればよい。x∈Nのとき、これは満たされる。x=∞のとき、∞の定義より明らかになり立つ。

反対称律を確認する。x≦*y、y≦*x→x=yをしめす。x,y∈Nのとき、これは満たされる。x=∞のとき、y=∞より、x=y。y=無限の時も同様。x=y=∞の時、これも満たされている。

推移律を確認する。x≦*y、y≦*z→x≦*zを示せばよい。x,y,z∈Nのとき、これは成り立つ。x=∞の時、y=∞、z=∞より、x≦*zは成り立っている。y=∞の時、x≦*∞、∞≦*zのとき、z=∞より、x≦*zが示せた。z=∞のとき、x≦*y、y≦*∞→x≦無限が成り立つので、満たされている。

x=y=∞のとき、z=∞なので、x≦*zが成り立つ。x=z=∞のとき、明らかになり立っている。y=z=∞のとき、x≦zが成り立つのは明らか。

よって、三条件が成り立つことが確認できたので、(N*,≦*)は順序集合を成す。

比較可能律は明らかになり立っている。

(N*,≦*)は全順序集合を成していることがわかった。

つまり、Nに∞という元を加えることで、新たな全順序集合N*を作り出すことができた。しかし、N*はNと同じように演算で自然となる全順序であるとは限らない。なので、それも後々に検証していきたいと思う。