私的数学日誌

18日目「調和級数が発散することの証明」

調和級数が発散することを証明してみた。

第一の証明

Kroneckerの補題を用いる。

Kronekerの補題

b_n＞0、b_nは単調非減少で、lim(n→∞)b_n=∞を満たすとする。このとき、lim(n→∞)Σ(k=0→n)a_k/b_kが収束すれば、lim(n→∞)1/b_n Σ(k=0→n)a_k=0

証明はしないでおく（現在書き途中の話で書く）

これで、a_n=1、b_n=n+1とする。このとき、lim(n→∞)Σ(k=0→n)1/(k+1)が収束するとする。これを満たせば、lim(n→∞)1/(n+1) Σ(k=0→n)1=0がわかる。しかしこれは0=1を意味しているので、矛盾する。

第二の証明

1+1/2＞1/2+1/2、1/3+1/4＞1/4+1/4、1/5+1/6+1/7+1/8＞1/8+1/8+1/8+1/8......がわかる。一般的にすると、1/(2^n+1)+1/(2^n+2)+......+1/(2^n+k)+......1/(2^n+2^n-1)+1/2^(n+1)≧2^n 1/2^(n+1)=1/2。

これを利用することで、Σ(k=1→2^p)1/k=1+Σ(k=2→2^p)≧1+p/2を満たしていることがわかる。p=[log2 r]と置くと、Σ(k=1→r)1/k≧1+[log2 r]/2を満たしている。r→∞で右辺は発散するので、左辺も発散する。

第三の証明

Σ(k=1→n)1/k≧∫(1→n+1)dx/xがグラフを書くことでわかるから、左辺を積分することで、Σ(k=1→n)1/k≧log(1+n)が導けて、n→∞で左辺が発散することがわかる。