私的数学日誌

二日目？「微分するってのはすごい便利」

多くの高校生が苦しんでいるであろう微分。実は関数の極値を出すだけじゃないんだぞってことを紹介していきたいと思う。

まず、微分することの定義を確認してみよう。

関数ｆの微分*（1）と我々が読んでいるものはその実、ｆの導関数である。導関数とは微分係数を関数と見なしたものであり結局のところ、微分係数さえ定まれば、ほとんどの場合導関数は半自動的に求められるので、微分係数の定義を書いておこう。

f(a+h)-f(a)（h≠0）をhで割ったものをF(h)とかく。このときlim(h→0)F(h)をfのx=aにおける、微分係数といって、f'(a)とかく。

limの話とかはのちのちのちのちに書こうと思っているので、厳密な定義は未来の自分に丸投げするとして、雰囲気をつかみたいときは、変化の割合について、考えるといいかもしれない。定義を書いておく。

fのa-b間の変化の割合とはa≠bの時f(b)-f(a)をb-aで割ったものとして定義される。

これはg(x)を点（a,f(a)）、（b,f(b))を通る一次関数と定めた（一意に定まり、必ず存在する）ときの傾きと等しい。

これと微分係数の定義とを見比べてみると、微分係数の定義は変化の割合のbをa+hに置き換えただけであることがわかる。（極限はとっているが）

これらを見ると微分係数の意味もわかってくるだろう。文字通り、一次関数g(x)の１次の係数な訳だ。幾何的に考えるとこのg(x)はある点での関数f(x)の接線といえる。つまり、微分係数というものは接線の傾きであるといえる。

さて、微分係数の話をし終えたところで、本題に移ろう。導関数というのは、極値を求めるだけでなく、恒等式を求めることができるという話が今回したかった話である。高校で触れられるように微分には次のような性質がある。

・'は・をxで微分することを表すとして、これには、次のような性質が成り立つ。（a、bを定数、f,gをxの関数として扱う）

・(af+bg)'=af'+bg'

・f'=0⇄fは定数

・(f*g)'=f'*g+f*g'

3番目の性質と数学的帰納法を使うことによって、次の公式が導ける。

・{(x+a)^n}'=n(x+a)^(n-1)

では、実際に恒等式を証明してみよう。今回証明するのは、次のような恒等式だ。

ルイズの恒等式

Σ(k=0→n) (-1)^k * nCk * (x-k)^n =n!

初見ではかなり驚きのある恒等式であると思われる。まず、右辺がxに依存していないというのが、とても非自明である。また複雑な左辺が、階乗というかなりシンプルな形に収まったことも驚きである。

証明

記号が煩雑になって面倒なので概略のみ述べる。大学入試レベルであると思うので暇な人は行間を埋めてみてほしい。

左辺をf_n(x)とおく。やはり自然数の関わる命題であるので数学的帰納法を用いることが筋がいいと思われる。n=0の時正しい。nの時正しいとしてn+1の時を示そう。f_n+1(x)の導関数を求めるとパスカルの公式などを用いることにより、導関数は0になることがわかる。よって、導関数の性質2より、f_n+1(x)は定数である。

f_n+1(x)=f_n+1(n+1)であるので、右辺を変形していくと、(n+1)f_n(x)となるので帰納法の仮定より、結局すべてのnに対して正しい。

このように、ある関数が定数であることを示したいときには微分がとても刺さる。また、微分をしてから、多項式の係数を比較することにより、新しい恒等式を示すというのは、かなり使われる手段であるので覚えておいても損がない気がする。

*《1》微分とはxを微小に変化させたときのfの変化量を表すのでこの日誌では筆者が寝ぼけていない限り「微分する」や「導関数を求める」と書くことにする。