２０２３年３月２６日、異世界某所──

作：どうも‥　完全に抜け殻となったうp主です‥

Ｋ：──あれま、作品の執筆で消耗しきっちゃった？

作：『お兄ちゃんはおしまい！』が終っちゃったから‥

Ｋ：そっちか‥

作：来週からまひろちゃんに会えないなんて、おじさん、寂しい

　　よ‥

Ｋ：( ㅍ_ㅍ)ｼﾞﾄｰ　４月からは水星の魔女の後半あるじゃん？

作：まあ、それはそれで楽しみだけどね‥　

Ｋ：春以降だけどリコリス・リコイルの２期とかも。

作：リコリコねえ‥　ウォールナットちゃんが前髪あげたまひろ

　　ちゃんに見える症候群になって盛り上がろうかな‥

Ｋ：うん、それは勝手にしてください。

作：むぅ‥。

Ｋ：( ㅍ_ㅍ)ｼﾞﾄｰ　

作：‥ ん？

Ｋ：あとがき。

作：そうだった‥　ええ‥　巨大数？　小説？

Ｋ：どっちでも。

作：じゃあ‥　ええと‥　ええと‥

Ｋ：( ㅍ_ㅍ)ｼﾞﾄｰ　

作：ええと‥

Ｋ：あれさ‥　結局、魔理沙ちゃんは、あのノートで何か願いを　

　　叶えたんだよね？

作：それはご想像に‥

Ｋ：雪宮と、同棲してるでしょ？

作：ええと‥　ごご、ご想像に‥

Ｋ：それしかなくない？

作：そそ、そう？

Ｋ：だって、あんた、そういうの大好きじゃん‥

作：ど、どういうの‥

Ｋ：ロリコンじゃん？

作：ま、まあ、ひとつ案としてあるのは『お兄ちゃんはおしまい

　　！』をやりたくて、雪宮を女児化させて妹として二人で暮ら

　　してるってのがあるけど‥　そこは一意には定めない‥

Ｋ：色付きリップクリームとかおにまいだよね？

作：わかります？

Ｋ：うん‥　でも、おにまい案を言ったってことは最終的には想

　　定してないわね‥

作：──あ、例えば、咲夜さんってこともあるかもよ？

Ｋ：はい、それも消えた。

作：──まあ、文学ですからねえ‥　想像の範囲を許容するとこ　

　　ろに良さがあると思うんだな俺は‥

Ｋ：魔理沙ちゃんと同棲だな‥　間違いない。

作：──ごご‥　ご想像におまかせ！　次、巨大数いこう！

Ｋ：では、例の話題について！

作：例の‥　

Ｋ：例の。

作：例の‥　特に‥

Ｋ：つよみく順序数だよ。

作：あ、そっち‥　いやー、ありがたいですね‥　ま、競えたら

　　よかったんだけどね‥

Ｋ：‥ん？

作：想像だけど、たぶん動かないし、期間中に完成できるよな感

　　じでもないのでね‥

Ｋ：β版なのね。

作：はい！

Ｋ：自信もって言われても‥

作：(;^▽^A ｱｾｱｾ...　

Ｋ：( ㅍ_ㅍ)ｼﾞﾄｰ　

作：こ、今回は完全にβ版、開発中ということで‥　語ることは

　　多いから、原稿用紙にまとめてきたので、これ、掲載しよう

　　かなと‥

Ｋ：ん？

　本作の『みくみく順序数Act.β弱+』と『みくみく順序数Act.β中+』は、東方巨大数４に投稿した『みくみく順序数Act.3.7.P』の強化を目論んだ構想である。まず、おそらく現時点では動かないであろうという憶測を最初に記しておく。

　前回、東方巨大数４に投稿した『みくみく順序数Act.3.7.P』であったが、審査期間中に質問を受ける機会もなく、私の視点では詳細不明のまま無効となった。転機となったのは、SARSコロナウイルス２のオミクロン株の爆発的な感染拡大である。みくみく順序数では、ギリシア文字の「ο」を拡張表記として採用している。このオミクロン株の蔓延を機に、巨大数大好きbot氏が『みくみく順序数Act.3.7.P』の定義を読みはじめたのである。

　https://twitter.com/GoogologyBot/status/1488462897101799433

　巨大数大好きbot氏の研究により、仮に『みくみく順序数Act.3.7.P』がwell-definedであった場合は、順序数にして「Γ_ω」ほどの強さであることが推定された。これはヴェブレン関数の極限である小ヴェブレン順序数すら全く及ばない強さであった。この「Γ_ω」という解析は、私にとって悲劇的な推定であったが、しかし、好機でもあった。そもそも『みくみく順序数Act.3.7.P』は現時点ではwell-definedになっていない。その展開規則に、自然数を超える範囲の表記の大小関係を使うところがありう、この大小関係の定義が非常に難しく、この問題を解決するまで、巨大関数の強さへの研究は休止するつもりでいた。

　さて、みくみく順序数Act.β系には以下の３つの研究が含まれている。

　❶　ネストの構造強化。

　❷　みくみく順序数Act.3.3で放棄した経路の導入。

　❸　包括的な大小関係の判定。

■ネストの構造強化

　『みくみく順序数Act.3.7.P』では、例えば(3,3)という表記があったとき、α→(3,α)の最小の不動点で変数に「+１」を送り込む。これに対し、みくみく順序数Act.β系では、α→(3,α)の最小の不動点で(3,(5,3))となり、α→(3,(5,α))の最小の不動点で(3,(5,(3,(25,3))))となり、『ふぃっしゅ数バージョン５』や『原始数列システム』のような数え上げ（以後、これをβシステムと呼ぶ）を行い、(3,(∞…,13,11,7,5,3))という極限に達したとき、変数「+１」を送り込む。

　※　この(∞…,13,11,7,5,3)という「奇素数の列」には「βシステム」は採用しておらず、実のところ(∞…,5,5,5,5,3)でも構わない。

　さて、(3,(5,3))に対して(3,(7,5,3))や(3,(11,7,5,3)は、「βシステム」の採用に留まらず「βシステム」の構造を強化しようという研究である。おそらくだが、この構造に対する理解が足りていないと感じていて、壊れている可能性は高いと思われる。

■みくみく順序数Act.3.3で放棄した経路の導入

　『みくみく順序数Act.3.3』では２番地以外の(5,5)や(7,7)といった「ω^ω」に対応する表記は(3,5)や(3,7)としている。当時、この表記の採用したときのネストが読み切れなかった私は、以後のバージョンではこれをオミットした。今回、これを復活させているが、これに伴うバグも、もしかしたら存在するかもしれない。『みくみく順序数Act.3.7.P』では、(3,3)も(5,5)も(7,7)も「ω^ω」に対応する表記だが、みくみく順序数Act.β系では、(3,3)以外の(5,5)や(7,7)は定まった強さを持たない。その表記が存在する構造により強さが変化する。(3,((5,5),3))の(5,5)はα→(3,((α,5),3))の最小の不動点であるし、(3,3,((5,5),3))の(5,5)はα→(3,3,((α,5),3))の最小の不動点であるからだ。

■包括的な大小関係の判定

　『みくみく順序数Act.β弱+』の極限(∞…,3,3,3,3,3)の展開には表記の大小関係を使うことはない。この(∞…,3,3,3,3,3)以下の任意の表記「𝒜」と「ℬ」について、次のようなことを私は考えた。急増加関数 f 𝒜 [n]と f ℬ [n]があったとき、急増加関数 f 𝒜 [n]と f ℬ [n]の大小関係は一意には定まらない。しかし、表記「𝒜」と「ℬ」が「𝒜>ℬ」であるとき、 f 𝒜 [n]>f ℬ [n]となる「ｎの個数」については、「𝒜>ℬ」を満たす如何なる「𝒜」と「ℬ」についても、「ℬ」が有限個であるのに対して、「𝒜」は無限個になるのではないか？　もしこれが言えるのであれば、(∞…,3,3,3,3,3)以下の任意の表記の大きさは、急増加関数を使うことで有限時間内に判定が可能である。この判定を使って『みくみく順序数Act.3.7.P』の(3,7,3)に対応する変数の構造を導入したのが『みくみく順序数Act.β中+』であり、変数に関しては『みくみく順序数Act.3.7.P』と『みくみく順序数Act.β中+』は全く同様の動きをすることを想定している。

Ｋ：めっちゃ書いてる‥。

作：まあ、変な言い方だけど無効だと信じてる！

Ｋ：というわけで、長谷川由紀路先生の次回作にご期待くださ～

　　い！！！！

作：俺たちの戦いはまだまだこれからだ！！！！

幕